Elettricità e Geometria.

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franco
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Elettricità e Geometria.

Messaggio da franco »

Nel circuito raffigurato sono inserite 9 resistenze identiche.
ele-geo.png
ele-geo.png (6.46 KiB) Visto 3348 volte
Applico una differenza di potenziale $V$ fra i punti $A$ e $F$.
Come si distribuisce l'intensità di corrente nei diversi rami?
E' gradita un'interpretazione geometrica del risultato.

www.diophante.fr
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Franco

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someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
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Gianfranco
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Re: Elettricità e Geometria.

Messaggio da Gianfranco »

Ho provato a risolvere il circuito ricordando cose studiate troppi anni fa.
Purtroppo i miei risultati non sembrano riconducibili a quelli dati sul sito diophante.
Comunque, posto la mia prova, con la preghiera di segnalarmi gli errori.
geoelettr.png
geoelettr.png (34.62 KiB) Visto 3310 volte
Indico con R il valore delle resistenze (tutte uguali) e con V la tensione.
$2RJ_1-RJ_2-RJ_3=V$
$4RJ_2-RJ_1-RJ_3-RJ_5=0$
$3RJ_3-RJ_1-RJ_2-RJ_4=0$
$3RJ_4-RJ_3-RJ_5=0$
$3RJ_5-RJ_2-RJ_4=0$
Ho diviso tutto per R e ho posto V/R=28, per tentativi, per avere risultati interi.
WxMaxima mi dice che:
j1=27
j2=11
j3=15
j4=7
j5=6
Da cui si ricavano i valori (ma ci sono anche i versi, qui non indicati):
i1=J1-J2=16 e analogamente
i2=12
i3=4
i4=7
i5=8
i6=1
i7=5
i8=6
i9=11
che non mi sembrano compatibili con i risultati di diophante.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

panurgo
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Re: Elettricità e Geometria.

Messaggio da panurgo »

ElettricitàGeometria.01_480x480.png
ElettricitàGeometria.01_480x480.png (25.12 KiB) Visto 3290 volte
La mia nomenclatura è un po’ diversa dalla tua (avevo già fatto il disegno…): le $i_k$ sono le correnti di maglia; chiamo $U_{\text{XY}}$ la caduta di potenziale tra due nodi $\text{X}$ e $\text{Y}$; chiamo $E$ la d.d.p. imposta dal generatore di tensione.

Tu hai ricavato il sistema

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lC}
2R\ i_1-R\ i_2-R\ i_3=E \\
4R\ i_2-R\ i_1-R\ i_3-R\ i_5=0 \\
3R\ i_3-R\ i_1-R\ i_2-R\ i_4=0 \\
3R\ i_4-R\ i_3-R\ i_5=0 \\
3R\ i_5-R\ i_2-R\ i_4=0
\end{array}\right.\qquad\Longrightarrow\qquad \left\{\begin{array}{lC}
2i_1-i_2-i_3=E/R \\
4i_2-i_1-i_3-i_5=0 \\
3i_3-i_1-i_2-i_4=0 \\
3i_4-i_3-i_5=0 \\
3i_5-i_2-i_4=0
\end{array}\right.$

Lo pongo in forma matriciale

$\displaystyle \left(\begin{array}{rC}
2 & -1 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 4 & -1 & 0 & -1 \\
-1 & -1 & 3 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 3 & -1 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 3 \\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{rC}
i_1 \\ i_2 \\ i_3 \\ i_4 \\ i_5
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{rC}
1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{array}\right)\frac{E}{R}$

cioè

$\displaystyle \left(\begin{array}{rC}
i_1 \\ i_2 \\ i_3 \\ i_4 \\ i_5
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{rC}
2 & -1 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 4 & -1 & 0 & -1 \\
-1 & -1 & 3 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 3 & -1 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 3 \\
\end{array}\right)^{-1}
\left(\begin{array}{rC}
1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{array}\right)\frac{E}{R}$

Chiedo aiuto a WolframAlpha ottenendo

$\displaystyle\left(\begin{array}{rC}
i_1 \\ i_2 \\ i_3 \\ i_4 \\ i_5
\end{array}\right)
=\frac1{32}\left(\begin{array}{rC}
33 \\ 15 \\ 19 \\ 9 \\ 8
\end{array}\right)\frac{E}{R}$

Indi

$
\displaystyle U_{\text{AB}}=i_4\ R=\frac{ 9}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{AC}}=\left(i_3-i_4 \right)\ R=\frac{10}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{AD}}=\left(i_1-i_3 \right)\ R=\frac{14}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{BC}}=\left(i_4-i_5 \right)\ R=\frac{ 1}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{BE}}=i_5\ R=\frac{ 8}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{CD}}=\left(i_3-i_2 \right)\ R=\frac{ 4}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{CE}}=\left(i_2-i_5 \right)\ R=\frac{ 7}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{DF}}=\left(i_1-i_2 \right)\ R=\frac{18}{32}E\\
\displaystyle U_{\text{EF}}=i_2\ R=\frac{15}{32}E\\
$

che sono i numeri di Diophante.

La prima volta che ho visto un problema analogo è stata molti anni in Martin Gardner...
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Gianfranco
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Re: Elettricità e Geometria.

Messaggio da Gianfranco »

Grazie, Panurgo, perfetto.
Le tue equazioni sono uguali alle mie, ma avevo scritto un indice sbagliato su WxMaxima.
Ora tutto torna.
Ecco il risultato:
(%i6) linsolve([2*j1-j2-j3=V, 4*j2-j1-j3-j5=0, 3*j3-j1-j2-j4=0, 3*j4-j3-j5=0, 3*j5-j2-j4=0], [j1,j2,j3,j4,j5]);
(%o6) [j1=(33*V)/32,j2=(15*V)/32,j3=(19*V)/32,j4=(9*V)/32,j5=V/4]

A quella interpretazione geometrica non ci sarei mai arrivato.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

panurgo
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Re: Elettricità e Geometria.

Messaggio da panurgo »

In realtà, se segui il mio link vedrai che la cosa è a rovescio: quattro tizi, negli anni trenta, hanno usato la teoria delle reti elettriche per trovare la "quadratura" dei quadrati... :wink:
il panurgo

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