Figure o Picche?

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franco
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Figure o Picche?

Messaggio da franco »

Felle e Portolu giocano con un mazzo da 52 carte francesi.
Le mischiano per bene e, dopo aver puntato un euro ciascuno, cominciano girare una carta per volta.
Felle vince la posta se in un qualsiasi momento fra le carte girate le figure sono 2 in più delle picche.
Se si arriva alla fine del mazzo senza che ciò sia successo, la posta è incassata da Portolu.
Chi è il favorito?

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Franco

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panurgo
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Re: Figure o Picche?

Messaggio da panurgo »

Per prima cosa, facciamo un po’ di pulizia!
Tutte le carte che non sono figure e non sono picche non modificano i conteggi per cui possiamo toglierle senza nulla togliere. Lo stesso vale per le carte che sono figure e sono picche perché modificano i conteggi allo stesso modo.
Ci restano dieci picche e nove figure.
I modi in cui queste diciannove carte possono essere disposte (non distinguiamo una figura dall’altra o un picca dall’altra) sono contati dal coefficiente binomiale ${10+9}\choose 9$.
Di questi, quelli per i quali le figure sono, ad un certo punto, almeno due in più delle picche si ottengono facilmente con il metodo della riflessione (vedi figura)
FigureOPicche.01.480x526.png
FigureOPicche.01.480x526.png (45.58 KiB) Visto 2803 volte
e sono contati dal coefficiente binomiale ${12+7}\choose 7$: essi sono i $\frac{19\choose 7}{19\choose 9}=\frac6{11}$ del totale.

Quindi Felle ha un lieve vantaggio: amara coppa per Portolu...
Ultima modifica di panurgo il mar mar 17, 2020 5:52 pm, modificato 1 volta in totale.
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franco
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Re: Figure o Picche?

Messaggio da franco »

panurgo ha scritto:
lun mar 16, 2020 1:59 pm
Per prima cosa, facciamo un po’ di pulizia!
Tutte le carte che non sono figure e non sono picche non modificano i conteggi per cui possiamo toglierle senza nulla togliere.
Sino a questo punto ero arrivato anche io :)

Scherzi a parte, mi spieghi un po' meglio il significato del disegno?
Il tuo risultato è corretto (non che avessi dei dubbi ma per sicurezza sono anche andato a controllare su diophante.fr) ma sarebbe istruttivo capire come ci sei arrivato.
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panurgo
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Re: Figure o Picche?

Messaggio da panurgo »

IL grafo rappresenta le sequenze di carte: un passo in su, F (figura), un passo in giù, P (picche).

La retta orizzontale è una barriera assorbente, vale a dire che il processo finisce quando si raggiunge la retta (due figure in più delle picche). Se non ci fosse la barriera ogni sequenza sarebbe valida da FFFFFFFFFPPPPPPPPPP a PPPPPPPPPPFFFFFFFFF passando per tutte le diverse disposizioni: questo corrisponde alla griglia 9 x 10 che comincia due passi sotto la retta tratteggiata.

La riflessione produce una biiezione tra i cammini che toccano la retta e quelli che cominciano sopra la retta stessa (la griglia 7 x 12).

Numero di cammini totale delle carte (griglia 9 x 10), $\displaystyle {{9+10}\choose 9} = 92378$; numero di cammini che toccano la retta (griglia 7 x 12), $\displaystyle {{7+12}\choose 7} = 50388$: frequenza delle disposizioni favorevoli a Felle, $\displaystyle \frac{50388}{92378}=\frac6{11}$

La figura seguente dovrebbe essere sufficiente per convincerci che i cammini su una griglia sono contati dai coefficienti binomiali... :wink:
FigureOPicche.02.484x264.png
FigureOPicche.02.484x264.png (23.85 KiB) Visto 2804 volte
Ed ecco la biiezione promessa
FigureOPicche.01b.480x526.png
FigureOPicche.01b.480x526.png (48.11 KiB) Visto 2803 volte
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