Ciao a tutti,
Roberta,
cercando nella Rete ho trovato una dimostrazione dell'irrazionalità di pi greco elementare, nel senso che è spiegata usando solo l'algebra e il concetto di passaggio al limite.
Potrebbe essere interessante. Se fosse giusta vorrei farne una pagina per BASE Cinque.
La fonte è affidabile, MathForum:
http://mathforum.org/library/drmath/view/55828.html
Ho ricopiato la dimostrazione qui sotto.
Antonio,
anch'io sono interessato alla dimostrazione di trascendenza di pi greco.
Se me la invii fai un favore anche a me.
Grazie.
Riporto qui sotto la dimostrazione tratta da MathForum
The value of Pi can be computed by computing the perimeter of regular
polygons with 2^n sides inscribed and circumscribed about a circle of
radius 1. The inscribed polygon will have smaller perimeter than the
circumference of the circle, and the circumscribed polygon will have
larger perimeter than the circumference of the circle. Start with
n = 2, so the polygons are squares. That will tell you that
4*Sqrt[2] < 2*Pi < 4*2,
so
2.828427125 < Pi < 4.
Now use n = 3, so there are octagons. This will tell you that
8*Sqrt[2-Sqrt[2]] < 2*Pi < 8*(Sqrt[2]-1)
so
3.061467458921 < Pi < 3.31370849898.
This is enough to show that Pi is not a rational number with
denominator of 4 or less.
Now use n = 4, so there are 16-gons. Then
16*Sqrt[2-Sqrt[2+Sqrt[2]]] < 2*Pi
< 16*[(2+Sqrt[2])*Sqrt[2-Sqrt[2]]-1-Sqrt[2]
so
3.121445152 < Pi < 3.182597878.
This is enough to show that Pi is not a rational number with
denominator of 5 or less.
As you use larger and larger values of n, you get a better and better
approximation to Pi. Eventually you will be able to prove that Pi is
not equal to any fraction with denominator smaller than or equal to
any particular number you might guess.
Gianfranco
