Buonasera, approfitto nuovamente della infinita pazienza e della competenza di questo forum.
Premessa:
Supponiamo che un padre possa generare 0 figli con prob. ¼, 1 figlio con prob. ¼, 2 figli con prob. ¼ e 3 figli con prob. ¼. Allora la variabile aleatoria che esprime il n° dei figli possibili di questo padre è X=(0,1,2,3; 1/4,1/4,1/4,1/4).
Il polinomio generatore associato alla X è x(t)=1/4 +(1/4)t + (1/4)t^2 + (1/4)t^3.
Supponiamo anche che ogni figlio (in tutte le generazioni successive) si riproduca come il padre, cioè abbia lo stesso polinomio generatore del padre.
Segue che alla n-esima generazione il polinomio generatore che esprimerà le probabilità di nascita di tutti i possibili nuovi figli è x(x(x(…(x(t))))) composto n volte.
Chiamiamo, per semplicità, c(t) questo polinomio.
La probabilità che all’n-esima generazione ci siano k figli è
(((derivata k-esima di c(t))/k!) il tutto valutato con t=0 (facilmente verificabile).
Fin qui tutto ok
La parte del problema che non riesco a capire riguarda la probabilità di estinzione della casata, cioè la probabilità che prima o poi in una generazione non ci siano più figli.
La teoria dice:
•La probabilità di estinzione vale 1 se la media di X, cioè , è è >1 allora la probabilità di estinzione è la soluzione positiva, diversa da 1, dell’equazione in t: x(t)=t (perchè???)
Nell’esempio descritto = 0*1/4 + 1*1/4 + 2*1/4 + 3*1/4 >1 quindi dovrei seguire la seconda istruzione.
Mille grazie
roberta
probabilità di estinzione
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
mi sembra che il problema si ponga a cavallo tra matematica e demografia. e come tutte le cose di cui non si sa bene l'appartenenza, soffre di ambiguità.
Se un padre genera una media di un figlio e tre quarti si sarebbe tentati di dire che la casata sicuramente si espanderà con facilità e anche in fretta.
In realtà sappiamo che già alla prima generazione abbiamo il 25% di probabilità di estinzione. E questo è sicuramente il "gradino" più alto.
Alla seconda generazione (se non siamo capitati nel 25% sterile) avremo un figlio unico nel 25%, due fratelli o tre fratelli sempre con il 25%.
Perchè avvenga l'estinzione al secondo gradino bisogna che sia sterile il figlio unico (1/16), o tutti e due (1/64) o tutti e tre (1/256); la probabilità quindi è già notevolmente diminuita.
Ai passaggi successivi, in cui il numero dei potenziali generatori aumenta, la probabilità di estinzione si riduce sempre più drasticamente, ma....
In demografia esiste una legge, ovvia, che dice che, per garantire la stabilità di una popolazione, occorre che ad ogni passaggio generazionale il numero dei figli sia di 2. (in realtà tale numero si riferisce al numero di figli che a loro volta procreeranno, per cui va aumentato tenendo conto della mortalità prepuberale, del tasso di zitellaggio e di omosessualità; nei paesi cosiddetti occidentali moderni si ragione con un tasso del 2,1).
In questo contesto, una casata con un numero di figli medio di 1,75 è sicuramente destinata ad estinguersi.
Ma forse dicendo "figli" ci si riferiva solo ai maschietti....
Se un padre genera una media di un figlio e tre quarti si sarebbe tentati di dire che la casata sicuramente si espanderà con facilità e anche in fretta.
In realtà sappiamo che già alla prima generazione abbiamo il 25% di probabilità di estinzione. E questo è sicuramente il "gradino" più alto.
Alla seconda generazione (se non siamo capitati nel 25% sterile) avremo un figlio unico nel 25%, due fratelli o tre fratelli sempre con il 25%.
Perchè avvenga l'estinzione al secondo gradino bisogna che sia sterile il figlio unico (1/16), o tutti e due (1/64) o tutti e tre (1/256); la probabilità quindi è già notevolmente diminuita.
Ai passaggi successivi, in cui il numero dei potenziali generatori aumenta, la probabilità di estinzione si riduce sempre più drasticamente, ma....
In demografia esiste una legge, ovvia, che dice che, per garantire la stabilità di una popolazione, occorre che ad ogni passaggio generazionale il numero dei figli sia di 2. (in realtà tale numero si riferisce al numero di figli che a loro volta procreeranno, per cui va aumentato tenendo conto della mortalità prepuberale, del tasso di zitellaggio e di omosessualità; nei paesi cosiddetti occidentali moderni si ragione con un tasso del 2,1).
In questo contesto, una casata con un numero di figli medio di 1,75 è sicuramente destinata ad estinguersi.
Ma forse dicendo "figli" ci si riferiva solo ai maschietti....
Enrico
Grazie per avermi risposto.
Anche io interpreto i "figli" come i figli maschi.
L'unica cosa che posso aggiungere alla teoria del problema che ho esposto è che la derivata prima del polinomio generatore (del padre e di tutti i singoli figli maschi discendenti), valutata in 1, è uguale alla media della variabile aleatoria che esprime il n° dei possibili figli di ogni maschio della casata.
Ed è proprio che controlla quale istruzione applicare per calcolare la prob. di estinzione della casata.
Cercherò di approfondire
Cari saluti
roberta
Anche io interpreto i "figli" come i figli maschi.
L'unica cosa che posso aggiungere alla teoria del problema che ho esposto è che la derivata prima del polinomio generatore (del padre e di tutti i singoli figli maschi discendenti), valutata in 1, è uguale alla media della variabile aleatoria che esprime il n° dei possibili figli di ogni maschio della casata.
Ed è proprio che controlla quale istruzione applicare per calcolare la prob. di estinzione della casata.
Cercherò di approfondire
Cari saluti
roberta
Non conosco il “polinomio generatore” (anche se credo di aver capito a che cosa serve), per cui quello che dirò è sicuramente parziale, e forse non risponderà alle domande, ma ... parlo lo stesso
Se invece si parla di una popolazione (per esempio quella italiana) si può considerare che necessariamente le coppie siano ancora di italiani (è una approssimazione, ma in genere penso che sia accettabile), per cui se il numero medio di figli di ogni individuo di ogni generazione è uguale a 2 il numero totale della popolazione non varia (in media), se è minore di 2 diminuisce (e si va all'estinzione), se è maggiore di 2 la popolazione si espande all'infinito. (Per avere un'idea delle motivazioni basta pensare che se ogni coppia di persone fosse sostituita da altre due nuove persone (i figli) il numero totale rimarrebbe esattamente lo stesso).
Ovviamente se invece degli “accoppiamenti” la natura avesse scelto di far nascere un figlio con in contributo di n individui (cioè se ogni figlio avesse n padri), invece del “2” si avrebbe avuto “n”.
Per il testo invece si considera che ogni "padre" abbia un figlio, che poi lo abbia "da solo" o con in contributo di "altri" non cambi ai termini della questione, ma solo se, avendolo con il contributo di altri discendenti, quel "figlio" sia considerato figlio di un solo discendente, e non di entrambi.
Può darsi che funzioni davvero così, ma che, vista la indiscutibile maggior semplicità di considerare la probabilità uguale ad 1, senza ulteriori calcoli, il teorema si enunci come hai detto tu.
Però se è così, io per l'enunciato preferirei la forma unica, con “l'aggiunta” per il caso particolare: «La probabilità di estinzione è la soluzione positiva dell’equazione in t: x(t)=t . Se la media di X, cioè , è <=1 , allora probabilità di estinzione vale 1».
Io credo che non sia necessario che si parli di figli maschi, ma che si intenda che i discendenti che procreeranno non lo facciano accoppiandosi con altri discendenti.delfo52 ha scritto:.... In demografia esiste una legge, ovvia, che dice che, per garantire la stabilità di una popolazione, occorre che ad ogni passaggio generazionale il numero dei figli sia di 2. (in realtà tale numero si riferisce al numero di figli che a loro volta procreeranno, per cui va aumentato tenendo conto della mortalità prepuberale, del tasso di zitellaggio e di omosessualità; nei paesi cosiddetti occidentali moderni si ragione con un tasso del 2,1).
In questo contesto, una casata con un numero di figli medio di 1,75 è sicuramente destinata ad estinguersi.
Ma forse dicendo "figli" ci si riferiva solo ai maschietti....
Se invece si parla di una popolazione (per esempio quella italiana) si può considerare che necessariamente le coppie siano ancora di italiani (è una approssimazione, ma in genere penso che sia accettabile), per cui se il numero medio di figli di ogni individuo di ogni generazione è uguale a 2 il numero totale della popolazione non varia (in media), se è minore di 2 diminuisce (e si va all'estinzione), se è maggiore di 2 la popolazione si espande all'infinito. (Per avere un'idea delle motivazioni basta pensare che se ogni coppia di persone fosse sostituita da altre due nuove persone (i figli) il numero totale rimarrebbe esattamente lo stesso).
Ovviamente se invece degli “accoppiamenti” la natura avesse scelto di far nascere un figlio con in contributo di n individui (cioè se ogni figlio avesse n padri), invece del “2” si avrebbe avuto “n”.
Per il testo invece si considera che ogni "padre" abbia un figlio, che poi lo abbia "da solo" o con in contributo di "altri" non cambi ai termini della questione, ma solo se, avendolo con il contributo di altri discendenti, quel "figlio" sia considerato figlio di un solo discendente, e non di entrambi.
Non conosco il polinomio generatore, ma se funziona così mi pare poco bello: “a idea” il metodo mi piacerebbe di più se fosse “lo stesso”, cioè se in ogni caso (sia per X maggiore di uno, sia per X minore di 1, con l'unica possibile eccezione per X=1) «la probabilità di estinzione fosse la soluzione positiva (eventualmente uguale a 1) dell’equazione in t: x(t)=t ».roberta ha scritto:La parte del problema che non riesco a capire riguarda la probabilità di estinzione della casata, cioè la probabilità che prima o poi in una generazione non ci siano più figli.
La teoria dice:
•La probabilità di estinzione vale 1 se la media di X, cioè , è , è è >1 allora la probabilità di estinzione è la soluzione positiva, diversa da 1, dell’equazione in t: x(t)=t (perchè???)
Nell’esempio descritto = 0*1/4 + 1*1/4 + 2*1/4 + 3*1/4 >1 quindi dovrei seguire la seconda istruzione.
Può darsi che funzioni davvero così, ma che, vista la indiscutibile maggior semplicità di considerare la probabilità uguale ad 1, senza ulteriori calcoli, il teorema si enunci come hai detto tu.
Però se è così, io per l'enunciato preferirei la forma unica, con “l'aggiunta” per il caso particolare: «La probabilità di estinzione è la soluzione positiva dell’equazione in t: x(t)=t . Se la media di X, cioè , è <=1 , allora probabilità di estinzione vale 1».