Quanti sono?

[Bruno]

Quanti numeri primi ci sono nella successione definita da: $\;\;a_{\small 0} = 1, \; a_{n+1} = 100\cdot a_{n} + 1\;$?

[gnugnu]

Uno solo: $101$.
$ a_n$ è la somma dei primi $n+1$ termini della progressione geometrica di ragione $ 10^2 $ e primo termine uguale a $ 1$.
Il numeratore della frazione che restituisce questa somma si può scomporre come differenza di quadrati e solo nel caso di $101$ uno dei fattori può ridursi ad $ 1$ nella semplificazione col denominatore $99$.
Ciao

[Bruno]

Certo, gnugnu: sintetico e corretto.

[Gianfranco]

$ a_n$ è la somma dei primi $n+1$ termini della progressione geometrica di ragione $ 10^2 $ e primo termine uguale a $ 1$.

Applauso del capitano Picard!
Non sarei mai arrivato a fare questo collegamento.
La mia strada più contorta è stata quella di porre:
$\large k^2=10^2=100$
e di osservare lo sviluppo della funzione ricorsiva, ottenendo per esempio:
$\large a_0=1$
$\large a_1={k}^{2}+1$
$\large a_2={{k}^{2}}\, \left( {{k}^{2}}+1\right) +1={{k}^{4}}+{{k}^{2}}+1$
$\large a_3={{k}^{2}}\, \left( {{k}^{2}}\, \left( {{k}^{2}}+1\right) +1\right) +1={{k}^{6}}+{{k}^{4}}+{{k}^{2}}+1$
Eccetera.
Tutte le espressioni tranne $\large k^2+1=101$ sono fattorizzabili.
---

[Bruno]

Ottimo, Gianfranco non vedo nulla di contorto.

[gnugnu]

Gianfranco,
non vedo differenze sostanziali fra le nostre affermazioni.
Se poi mostri che:
con $ n $ dispari, $ a_n $ è divisibile per $ k^2+1 $;
con $ n $ pari, $ a_n=(k^n+k^{n-1}+...+k+1)(k^n-k^{n-1}+...-k+1) $;
hai dimostrato che l'esistenza di un unico termine primo vale anche sostituendo $ 100 $ con un qualsiasi quadrato maggiore di $1 $ fornendo, gratuitamente, l'inizio della fattorizzazione.

Mi son posto una domanda senza trovare la risposta: esistono $ a_n $ prodotto di esattamente due numeri primi?
Ciao

[panurgo]

Esistono: $100^2+1=73×137,\; 100^3+1=101×9901,\; 100^4+1=17×5882353$

[Gianfranco]

Mi son posto una domanda senza trovare la risposta: esistono $ a_n $ prodotto di esattamente due numeri primi?

Se non erro,
$\large a_{18} = 1010101010101010101010101010101010101$

$\large = 909090909090909091 \cdot 1111111111111111111$

Forse esistono infiniti termini della sequenza del tipo:
$\large909090...91 \cdot 111111...111$
Quanti fattori di quel tipo sono primi?
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Panurgo, se non erro, i termini della successione sono del tipo:
$\large \frac{{{100}^{n}}-1}{100-1}$

[Bruno]

se non erro, i termini della successione sono del tipo: $\large \frac{{{100}^{n}}-1}{100-1}$

È così.

[gnugnu]

Grazie Gianfranco! Hai trovato una coppia e mooolto probabilmente non ne scoveremo altre. Solo quando ho visto quella sfilza di $ 1 $ mi sono ricordato di un tormentone di qualche lustro fa: i "repunit"; cercando in rete ho trovato che solo cinque di questi sono sicuramente primi, mentre altri quattro, probabilmente primi, non sarebbero ancora certificati. Il numero degli $ 1 $ che li compongono sono:
$2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 $.
$ 11 $ non ci interessa, il secondo lo hai stanato, per i restanti occorrerebbe verificare la primalità dell'altro fattore. Sempre in rete ho trovato solamente che $9091, 909091, 909090909090909091$ e $90909090909090909090909090909091$ sono primi.
Ciao