Cavo sospeso

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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delfo52
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Cavo sospeso

Messaggio da delfo52 »

I capi di un cavo lungo 80 metri, libero di pendere, sono fissati alle cime di due pali alti 50 metri: un capo è in cima a un palo, l’altro capo è in cima all’altro.

A che distanza devono essere messi i due pali affinché il punto più basso del cavo sia esattamente a 10 metri da terra?

La risposta va data usando solo carta e penna, senza consultare fonti e dando almeno una cifra decimale. (da "il disinformatico")
Enrico

panurgo
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Re: cavo sospeso

Messaggio da panurgo »

Se la vuoi con una cifra decimale, $d=0,0\text{ m}$...
il panurgo

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Gianfranco
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Re: cavo sospeso

Messaggio da Gianfranco »

Secondo me, va bene qualunque distanza, da 0,0 m a 180,0 m.
Per esempio.
pali_cavo.png
pali_cavo.png (17.9 KiB) Visto 9215 volte
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: cavo sospeso

Messaggio da Bruno »

panurgo ha scritto:
gio feb 20, 2020 8:41 am
Se la vuoi con una cifra decimale, $d=0,0\text{ m}$...
Così non fa una grinza (o quasi) :D
(Bruno)

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delfo52
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Re: cavo sospeso

Messaggio da delfo52 »

ero certo che avremmo visto risposte "laterali" di grande interesse. Ovviamente la soluzione "ortodossa" presuppone il fatto che i due pali siano diritti e verticali, che la altezza sia quella fuori terra, e che il terreno sia pianeggiante.
A queste condizioni, le cose sono molto meno brillanti; anche se non si capisce a che possano servire due pali uguali attaccati uno all'altro con una corda pendula.
Enrico

Gianfranco
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Re: cavo sospeso

Messaggio da Gianfranco »

delfo52 ha scritto:
gio feb 20, 2020 4:29 pm
... non si capisce a che possano servire due pali uguali attaccati uno all'altro con una corda pendula.
Altalena per persone piatte?
Si accettano altre proposte.

Molto bello il quesito, lo metto nella mia collezione da proporre ai colleghi.
Grazie per averlo proposto.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Pasquale
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Re: cavo sospeso

Messaggio da Pasquale »

Se i pali fossero stati alti 30 metri?
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Gianfranco
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Re: cavo sospeso

Messaggio da Gianfranco »

Pasquale ha scritto:
gio feb 20, 2020 7:43 pm
Se i pali fossero stati alti 30 metri?
Per farla breve, si può usare la seguente formula che mette in relazione tre elementi fondamentali della catenaria, indicati nella figura con x, y, z.
catenaria1.png
catenaria1.png (6.03 KiB) Visto 9177 volte
catenaria2.png
catenaria2.png (5.55 KiB) Visto 9177 volte
Nel nostro caso sappiamo che:
z = 29,9 m (altezza dei pali meno 10 cm pari alla distanza del punto di minimo dal terreno)
y = 40 m (metà della lunghezza del filo)
Sostituendo le misure nella formula, si trova:
x = 22,838779... m
La distanza tra i pali è il doppio, cioè
distanza = 45,7 m

La formula è tratta dall'articolo:
THE HANGING CABLE PROBLEM FOR PRACTICAL APPLICATIONS
Neil Chatterjee and Bogdan G. Nita
Department of Mathematical Sciences
Montclair State University
http://euclid.trentu.ca/aejm/V4N1/Chatterjee.V4N1.pdf

Il procedimento richiede di calcolare integrali troopo difficili per me. Però ho provato a sviluppare tutti i calcoli approssimando la catenaria con una parabola, ottenendo questo risultato:
d = 47,6 m
Cè una differenza di circa 2 m. Non è poca.

P.S. Scrivo la formula in formato testo, adatto per chi vuole testarla con qualche programma.
2*x=((y^2-z^2)*log(2*y*z/(y^2-z^2)+sqrt(4*y^2*z^2/(y^4-2*y^2*z^2+z^4)+1)))/z
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

franco
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Re: cavo sospeso

Messaggio da franco »

Gianfranco,

Nei tuoi calcoli hai considerato che il filo arrivasse a $10 cm$ dal suolo e non a $10 m$.

Mettendo $y=40$ e $z=20$ nella tua formula ottengo (con excel) $2x=65,9$

Effettivamente però sarebbe un po' duro fare i conti con carta e matita :)
Franco

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Gianfranco
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Re: cavo sospeso

Messaggio da Gianfranco »

franco ha scritto:
sab feb 22, 2020 8:17 am
Nei tuoi calcoli hai considerato che il filo arrivasse a $10 cm$ dal suolo e non a $10 m$.
Franco, hai ragione, a un certo punto ho pensato che la richiesta fosse 10 cm.
Con 10 m, i risultati sono i seguenti:
Catenaria
$distanza=60 \log 3=65,9 m$
Parabola
$distanza=66,3 m$
In questo caso la differenza è poca.
Salvo errori e omissioni.

P.S. Per i calcoli e qualche elaborazione simbolica, io uso Maxima.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Pasquale
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Re: cavo sospeso

Messaggio da Pasquale »

Interesting. Quale sarebbe la differenza dai precedenti risultati, se la curva fosse un'iperbole?
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Gianfranco
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Re: cavo sospeso

Messaggio da Gianfranco »

Ciao Pasquale,
Pasquale ha scritto:
sab feb 22, 2020 3:41 pm
Interesting. Quale sarebbe la differenza dai precedenti risultati, se la curva fosse un'iperbole?
Ci ho provato, ma mi sono fermato di fronte all'integrale definito che mi serve per calcolare la lunghezza di un ramo di iperbole equilatera.
Per esempio, data l'iperbole:
$\large y=\frac{a}{x}$
come calcolare la lunghezza dell'arco di curva tra i due punti di ascisse $\large \sqrt{a}$ e $\large b$?

Oppure, data l'iperbole:
$\large y=\sqrt{x^2+a^2}$
come calcolare la lunghezza dell'arco di curva tra i due punti di ascisse $\large 0$ e $\large b$?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
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Re: Cavo sospeso

Messaggio da Bruno »

Gianfranco, per quel che so, la lunghezza da $\;r\;$ a $\;s\;$ di una curva piana con funzione $\;f(x)$, derivabile in quell'intervallo, è data da: $\int_{r}^{s} \sqrt{1+f'(x)^2}\, dx$.
Se $\;f(x) = \large \frac{a}{x}\;$, sotto la radice quadrata finisce $\;1+\large \frac{a^2}{x^4}$ e l'integrale indefinito che ho ottenuto è un mostriciattolo.
Non mi sembra che scherzi nemmeno $\;f(x) = \sqrt{x^2+a^2}\;$ ...
(Bruno)

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Re: Cavo sospeso

Messaggio da Gianfranco »

Bruno ha scritto:
mer mar 04, 2020 12:34 pm
l'integrale indefinito che ho ottenuto è un mostriciattolo.
Esatto Bruno, la cosa all'inizio sembra innocua ma poi diventa molto difficile (per me).

E' però facile scrivere un programmino che calcoli la lunghezza della curva con metodi numerici.
Forse lo farò, se non lo fa prima Pasquale.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

panurgo
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Re: Cavo sospeso

Messaggio da panurgo »

Per prima cosa bisogna parametrizzare la curva: una curva parametrizzata in $\mathbb{R}^2$ è un'applicazione

$\displaystyle \gamma:I\longrightarrow\mathbb{R}^2,\qquad t\mapsto
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x=\gamma_1\left(t\right) \\
\displaystyle y=\gamma_2\left(t\right)
\end{array}\right.$

dove $I=\left[a,b\right]\subset\mathbb{R}$ è un intervallo della retta reale con $-\infty\leq a<b\leq\infty$. Le funzioni $\gamma_1\left(t\right)$ e $\gamma_2\left(t\right)$ sono le componenti della curva. L'immagine tramite $\gamma$ dell'intervallo $I$ in $\mathbb{R}^2$ si chiama traiettoria o supporto della curva. I punti $\gamma\left(a\right)$ e $\gamma\left(b\right)$ in $\mathbb{R}^2$ sono gli estremi della curva. Una curva si dice chiusa se $\gamma\left(a\right)=\gamma\left(b\right)$.

In pratica, quella che è una traiettoria che lega $x$ e $y$ in modo complicato in $\mathbb{R}^2$ è semplice in $I$ (così come la strada che percorriamo ci sembra sempre dritta nonostante tutte le giravolte che facciamo quando andiamo da qui a là).

Per esempio, la retta $a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0$ diventa

$\displaystyle \gamma:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^2,\qquad t\mapsto
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x=x_0+a\,t \\
\displaystyle y=y_0+b\,t \\
\end{array}\right.$

la parabola $y=a\,x^2$ diventa

$\displaystyle \gamma:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^2,\qquad t\mapsto
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x=t \\
\displaystyle y=a\,t^2 \\
\end{array}\right.$

la circonferenza $x^2+y^2=r^2$ diventa

$\displaystyle \gamma:\left[0,2\pi\right]\longrightarrow\mathbb{R}^2,\qquad \theta\mapsto
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x=r\,\cos\theta \\
\displaystyle y=r\,\sin\theta
\end{array}\right.$

l'ellisse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ diventa

$\displaystyle \gamma:\left[0,2\pi\right]\longrightarrow\mathbb{R}^2,\qquad \theta\mapsto
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x=a\,\cos\theta \\
\displaystyle y=b\,\sin\theta
\end{array}\right.$

e infine, l'iperbole $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ diventa

$\displaystyle \gamma:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^2,\qquad t\mapsto
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x=\pm a\,\cosh t \\
\displaystyle y=b\,\sinh t
\end{array}\right.$

L'iperbole $xy=a$, ruotata di $45^\circ$ in senso orario, e l'iperbole $y=\sqrt{x^2+a^2}$, ruotata di $90^\circ$ sempre in senso orario, diventano l'iperbole equilatera $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1$, parametrizzata da

$\displaystyle \gamma:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^2,\qquad t\mapsto
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x=\pm a\,\cosh t \\
\displaystyle y=a\,\sinh t
\end{array}\right.$

La rotazione è un’isometria per cui la lunghezza calcolata per questa inperbole è la stessa delle iperboli di partenza.

La lunghezza di un arco di curva parametrizzata è la funzione data da

$\displaystyle L_\gamma\left(t\right)=\int_a^t \sqrt{\gamma_1^\prime\left(\tau\right)^2+\gamma_2^\prime\left(\tau\right)^2}d\tau$

Nel caso della nostra iperbole

$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x^\prime=\pm a\,\sinh t \\
\displaystyle y^\prime=a\,\cosh t
\end{array}\right.$

e

$\displaystyle L_\gamma\left(t\right) =a\,\int_0^t \sqrt{\sinh^2 \tau+\cosh^2 \tau}d\tau =a\,\int_0^t \sqrt{\cosh 2\tau}d\tau $

Questo integrale è un Integrale Ellittico Incompleto di Seconda Specie e molti software (WolframAlpha per esempio) possono calcolarlo per valori definiti di $a$ e $t$.
il panurgo

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