Spigolando fra gli interi

[Br1]

Risolvere in $\/ \mathbb{Z} \/$ questa equazione:

$\large{x^{\small 2}+3x+2 \/ = \/ y^{\small 2}+4y+7}$

e naturalmente... spiegare il perché



Buon fine settimana a tutti!

[Tino]

Provo la diofantea!

$x^2+3x+2 = y^2+4y+7$

Completo i quadrati.

$(x+3/2)^2-1/4 = (y+2)^2+3$

Moltiplico per 4.

$(2x+3)^2-1=(2y+4)^2+12$

Pongo A=2x+3, B=y+2.

$A^2-4B^2=13$

Prodotto notevole

$(A-2B)(A+2B)=13$

Si tratta di una scomposizione del numero tredici, che è primo, dunque avremo le seguenti possibilità:

A-2B=1, A+2B=13.
A-2B=13, A+2B=1.
A-2B=-1, A+2B=-13.
A-2B=-13, A+2B=-1.

Riscrivendole,

A=2x+3=7, B=y+2=3.
A=2x+3=7, B=y+2=-3.
A=2x+3=-7, B=y+2=-3.
A=2x+3=-7, B=y+2=3.

Ovvero, usando solo x e y, otteniamo alfine le quattro possibili soluzioni:

x=2, y=1.
x=2, y=-5.
x=-5, y=-5.
x=-5, y=1.

[Admin]

Ciao Tino,
stavo scribacchiando qualcosa,
quando ho visto la tua risoluzione.

Impeccabile!

Ciao
Admin

[Br1]

Mi affianco a Pietro: ottimo Tino

[Gimmy]

Mi complimento pure io!
Bravo Tino!