Risolvere in $\/ \mathbb{Z} \/$ questa equazione:
$\large{x^{\small 2}+3x+2 \/ = \/ y^{\small 2}+4y+7}$
e naturalmente... spiegare il perché
Buon fine settimana a tutti!
Spigolando fra gli interi
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Provo la diofantea!
$x^2+3x+2 = y^2+4y+7$
Completo i quadrati.
$(x+3/2)^2-1/4 = (y+2)^2+3$
Moltiplico per 4.
$(2x+3)^2-1=(2y+4)^2+12$
Pongo A=2x+3, B=y+2.
$A^2-4B^2=13$
Prodotto notevole
$(A-2B)(A+2B)=13$
Si tratta di una scomposizione del numero tredici, che è primo, dunque avremo le seguenti possibilità:
A-2B=1, A+2B=13.
A-2B=13, A+2B=1.
A-2B=-1, A+2B=-13.
A-2B=-13, A+2B=-1.
Riscrivendole,
A=2x+3=7, B=y+2=3.
A=2x+3=7, B=y+2=-3.
A=2x+3=-7, B=y+2=-3.
A=2x+3=-7, B=y+2=3.
Ovvero, usando solo x e y, otteniamo alfine le quattro possibili soluzioni:
x=2, y=1.
x=2, y=-5.
x=-5, y=-5.
x=-5, y=1.
$x^2+3x+2 = y^2+4y+7$
Completo i quadrati.
$(x+3/2)^2-1/4 = (y+2)^2+3$
Moltiplico per 4.
$(2x+3)^2-1=(2y+4)^2+12$
Pongo A=2x+3, B=y+2.
$A^2-4B^2=13$
Prodotto notevole
$(A-2B)(A+2B)=13$
Si tratta di una scomposizione del numero tredici, che è primo, dunque avremo le seguenti possibilità:
A-2B=1, A+2B=13.
A-2B=13, A+2B=1.
A-2B=-1, A+2B=-13.
A-2B=-13, A+2B=-1.
Riscrivendole,
A=2x+3=7, B=y+2=3.
A=2x+3=7, B=y+2=-3.
A=2x+3=-7, B=y+2=-3.
A=2x+3=-7, B=y+2=3.
Ovvero, usando solo x e y, otteniamo alfine le quattro possibili soluzioni:
x=2, y=1.
x=2, y=-5.
x=-5, y=-5.
x=-5, y=1.
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
-
- Amministratore del sito
- Messaggi: 870
- Iscritto il: mer apr 20, 2005 3:47 pm
- Località: Benevento
Ciao Tino,
stavo scribacchiando qualcosa,
quando ho visto la tua risoluzione.
Impeccabile!
Ciao
Admin
stavo scribacchiando qualcosa,
quando ho visto la tua risoluzione.
Impeccabile!
Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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Mi complimento pure io!
Bravo Tino!
Bravo Tino!
Gimmy
- "Se non sarà per culo, sarà per Matematica!" - Giò, gettando una manciata di carrarmatini rossi sull'Australia Occidentale.
Utente:Wikipedia -> http://it.wikipedia.org/wiki/Utente:Gim²y
- "Se non sarà per culo, sarà per Matematica!" - Giò, gettando una manciata di carrarmatini rossi sull'Australia Occidentale.
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