To be or not to be

[franco]

Esiste un triangolo ABC il cui perimetro è uguale a 134 cm, il raggio del cerchio inscritto è uguale a 12 cm e il raggio del cerchio circoscritto è uguale a 27 cm?

Existe-t-il un triangle ABC dont le périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimètres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres?

D1873
www.diophante.fr

[delfo52]

rispondo senza fare calcoli, in modo intuitivo/approssimativo. L'area del cerchio grande è poco più di 180. circa il 25% in più dell'area del triangolo. A occhio, una differenza troppo piccola, anche se ipotizziamo che il triangolo sia l'equilaterone inscritto. In tal caso, però, direi che un cerchio di raggio 12 è troppo piccolo per tangere internamente il triangolo. Sempre andando a naso…
Ovvio che, facendo i conti , si può arrivare ad una conoscenza più precisa...

[gnugnu]

Non esiste alcun triangolo soddisfacente le condizioni proposte.
Siano $a,b,c $ i lati del triangolo cercato ed $ A $ l'area della sua superficie; il problema fornisce i valori di $ r=12; R=27; p=134/2=67 $ misure, rispettivamente, dei raggi delle circonferenze inscritta, di quella circoscritta e del semiperimetro.
Utilizzando le note relazioni:
$ rp=A; abc=4RA=4rRp; p(p-a)(p-b)(p-c)=A^2=r^2p^2 $
si possono determinare i coefficienti del polinomio monico di terzo grado avente per radici le misure dei lati cercati (quando esista il triangolo):
$ (x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc $.
$a+b+c=2p$ e $ abc=4rRp $ sono noti; per calcolare il coefficiente $ab+bc+ca$ si può manipolare la terza relazione (teorema di Erone);
dopo aver semplificato per $p$ otteniamo
$ p^3-(a+b+c)p^2+(ab+bc+ca)p-abc=r^2p $, da cui, sostituendo le espressioni note e semplificando ulteriormente per $p$
$ -p^2+(ab+bc+ca)-4rR=r^2$ da cui $ ab+bc+ca=r^2+p^2+4rR$.
Con i valori numerici proposti $f(x)=x^3-134x^2+5929x-86832$ è il polinomio cercato.
Senza perdersi nel discriminante si può osservare che la derivata del polinomio
$ f'(x)=3x^2-268x+5929 $ si annulla in $x_1=121/3$ e $x_2=49$
ed essendo $f(x_1)= -1904/27<0$ il polinomio avrà un'unica radice reale e due radici complesse coniugate, quindi il triangolo non esiste.

I valori proposti sono stati scelti con cura per rendere non banale la risposta: bastano piccole variazioni per ottenere triangoli adeguati: ad esempio con $ r=11.96337 $ il triangolo esiste, oppure basta aumentare il perimetro di una parte su 800 per avere un cambiamento analogo.
Ciao

[franco]

Non esiste alcun triangolo soddisfacente le condizioni proposte.
Siano $a,b,c $ i lati del triangolo ...

Mi sono perso nella tua spiegazione al punto del polinomio monico ma immagino che tu abbia ragione.
Si potrebbe tradurre in francese la tua soluzione e postarla sul sito (c'è qualche volontario?).
In ogni caso bisognerà però aspettare il mese prossimo per leggere le soluzioni.

[Pasquale]

Allora, salvo abbagli, direi che il 27 c'è, se si accetta qualche approssimazione dovuta agli irrazionali che disturbano i calcoli.

Sappiamo che c'è un triangolo il cui perimetro è 134, che il raggio della circonferenza inscritta è r = 12 e vogliamo sapere se la circonferenza circoscritta ha raggio R = 27.

Il perimetro del triangolo è P = 134, ma non conosciamo le singole misure dei lati a,b,c necessari per procedere.
Tra le formule conosciute, noto che l'elemento di calcolo comune alle due circonferenze è l'Area del triangolo.

Infatti, con riferimento alla circonf. inscritta, per l'area A del triangolo possiamo scrivere:

1) A = P*r/2 = 134*12/2 = 804

mentre, con riferimento alla circonf. circoscritta, per la stessa area possiamo scrivere:

2) A = abc/4R o anche abc = 4AR

Tanto premesso, dalle 1) e 2), discende:

a+b+c = 134
a*b*c = 4*804*27

(Nota: ho imposto R = 27, come se fosse un dato noto, allo scopo di cercare i valori a,b,c ed intendendo successivamente verificare se il dato è valido o meno)

Quindi:

1) a+b+c = 134
2) a*b*c = 86832

da cui:

1) a = 134 - b - c
2) a = 86832/bc

Sottraendo membro a membro:

134 - b - c - 86832/bc = 0

si giunge a:

$cb^2 + (c^2 - 134c)b + 86832 = 0$

3) $b_{1,2} = \frac {134 - c \pm \sqrt {c^4 - 268c^3 + 17956c^2 - 347328c}}{2}$

Va bene, correggo sulle osservazioni più giù di Bruno, che ringrazio:

3) $b_{1,2} = \frac {134c - c^2 \pm \sqrt {c^4 - 268c^3 + 17956c^2 - 347328c}}{2c}$

divido numeratore e denominatore per $c^2$ e ottengo:

3) $b_{1,2} = \frac {134 - c \pm c \sqrt {c^3 - 268c^2 + 17956c - 347328}}{2}$

Quindi ho cercato i valori 'c' di azzeramento del radicando, trovandone due accettabili, di cui utilizzerò per brevità soltanto:

$c = 36,6479182472526$.....; (trattasi di un valore irrazionale e quindi approssimato:l'altro è 53,19789580756693 che pure conduce al raggio 27)

Sostituendo la 'c' nella 3), con il suddetto valore si ottiene:

b = 48.6759252615994...... (anch'esso approssimato)

Ne discende:

a = 134 - b - c = 48.676156491148....

Quindi:
a = 48.676156491148....
b = 48.6759252615994.....
c = 36,6479182472526....

Sembrerebbe trattarsi quasi di un triangolo isoscele.

A questo punto abbiamo i valori dei tre lati e possiamo verificarne la validità:

a+b+c = 48.676156491148+ 48.6759252615994+ 36,6479182472526 = 134 (non poteva essere diversamente)
a*b*c = 48.676156491148*48.6759252615994*36,6479182472526 = 86831,999999…. (arrotondabile al valore di partenza 86832)
r = 2A/P = 1608/134 = 12 (valori non entrati in gioco se non inizialmente per il calcolo dell'area)

e dulcis in fundo:

R = abc/4A = 48.676156491148*48.6759252615994* 36,6479182472526/(4*804) = 26,999999999….. che potremmo associare all’idea di un bel 27

[Bruno]

Pasquale, intanto ciao

Mi sembra che qui tu abbia tolto due "c" al numeratore e uno al denominatore.

3) $b_{1,2} = \frac {134 - c \pm \sqrt {c^4 - 268c^3 + 17956c^2 - 347328c}}{2}$

Sbaglio?

Occorre imporre che il radicando non sia negativo e utilizzando quindi l'utility postata anni fa da Gianfranco, si trovano due valori di 'c' accettabili, di cui utilizzerò per brevità soltanto:

Ma se il radicando deve essere non negativo, perché trovi solo due valori accettabili?

[Pasquale]

Si Bruno, grazie. In effetti ho fatto qualche casino, scambiando il più o meno per un per.
Tuttavia quello che interessava era il radicando e lì avevo raccolto una 'c' a fattor comune, per cui l'espressione calava a 3° grado ed è su quella che ho cercato gli zeri.
Le radici valide erano 3, ma una non accettabile in quanto maggiore del diametro 54. Delle 2 valide, ne ho scelta una. La 'c' a fattor comune sarebbe stata zero per c=0, ma sarebbe venuto meno un lato del triangolo.
In conclusione, il risultato finale non cambia, ma è giusto che corregga l'errore, così come ho fatto più su in multicolore, sperando di non aver commesso qualche altro errore.
Anche qualche errore di linguaggio... va bene, speriamo meglio in futuro.
In definitiva, ho cercato un triangolo con le caratteristiche idonee alla coesistenza delle due circonferenze con raggi 12 e 27, anche se poi ne ho trovate due.
Il tutto nel tentativo di tenere allenata la memoria ormai flebile degli antichi studi, in compagnia dei simpatici basecinquini che ancora tengono in piedi il nostro grande forum.
Ancora grazie.

[Bruno]

Pasquale, grazie

C'è qualcosa che non mi convince, anche se non ho il tempo di approfondire...

Ma osservo che i lati del triangolo che tu hai trovato (pur con le debite approssimazioni) dovrebbero condurre a un'area uguale a 804 cm² anche tramite la formula di Erone, invece otteniamo circa 826 cm².

Pasquale, per il raggio della circonferenza inscritta abbiamo 12 = 2·A/134, mentre per quello della circonferenza circoscritta abbiamo 27 = a·b·c/(4·A). Cioè: A = 12·67 = 804 e a·b·c = 4·27·804 = 86832, avendo anche a+b+c = 134. Lo hai detto con chiarezza.
Ecco, quello che penso è che tali equazioni non ci garantiscano che sia soddisfatta la relazione 67·(67-a)·(67-b)·(67-c) = 804².
Di fatto, la tua scelta di porre uguale a zero il discriminante non va in questa direzione.
Sto ragionando a voce alta.

(Ritengo che la via di gnugnu sia corretta.)

[Pasquale]

Si, era una cosa che avevo notato, in contrasto con P*r/2 = 804. Avevo pensato ad un problema di approssimazioni e poi cercato un procedimento che escludesse la necessità di utilizzare Erone.
Anche per questa ragione non ho controllato la rispondenza ad 804 dell'area calcolata con la formula di Erone.
In effetti, non avendo fatto questo controllo, non ho visto che essendo cresciuta la misura dell'area è cresciuta di poco anche quella del raggio che prima era 12, mentre le misure dei lati individuate sono risultate utili per il raggio 27, calcolato però col dato 804.
Ho provato anche la seconda soluzione con c=53,18..., la quale si avvicina di più all'area 804, ma con un valore di 808, 8 troppo lontano, pur restando nalterato il raggio 27 calcolato come sopra, ma con l'altro raggio sempre maggiore di 12.
In effetti ha ragione Gnugnu, in quanto non esiste un triangolo con perimetro da 134 che abbia contemporaneamente i due raggi con le misure volute.
A questo punto, chiedo lumi sul mio errore, evidentemente concettuale, a parte il mancato controllo dell'area con Erone: ho creduto che mettendo in sistema le condizioni desiderate sarebbe venuto fuori il triangolo cercato, ma così non è stato.
Ho aumentato la quantità di cifre decimali fino a 40 ed il risultato è stato, con ambedue i valori di 'c' di cui all'equazione di 3° grado, di aver trovato 2 triangoli isosceli, diversi nella misura delle aree, con un raggio da 27 per la circonferenza circoscritta restando inalterato il perimetro da 134 e non trovando la corrispondenza con il raggio 12 della inscritta, a causa dell'area mutata.
Dunque chiedo lumi: a parte il fatto di non aver verificato il valore dell'area con Erone, perché il sistema non ha funzionato? Dove ho sbagliato da un punto di vista concettuale?
Sarà che ho considerato valido solo il valore di 'c' che azzerava il radicando di 3° grado, senza magari considerare la possibilità di utilizzare altri valori che avrebbero reso il radicando positivo e dunque accettabile in linea di principio, a parte le verifiche del caso?

[Bruno]

Di fatto, Pasquale, tu lavori su due equazioni con tre incognite.
Introducendo (67 - a)·(67 - b)·(67 - c) = 9648, sviluppandola e sostituendo quello che c'è da sostituire, ottieni una terza equazione: a·b + a·c + b·c = 5929.
A questo punto hai tre equazioni (lo stesso numero delle incognite) e questo è il corretto campo risolutivo di gnugnu

[Pasquale]

Caspita ! Elementare Watson

[gnugnu]

Una 'dimostrazione' grafica, derivata dall'idea di Pasquale, che utilizza il software GeoGebra.

Trimp.png (63.68 KiB) Visto 14544 volte

I punti $ A(0,0), P(67,0) $ sono fissi. Il punto $ B(c,0) $ ha ascissa modificabile e limitata all'intervallo $ [24,54] $.
$ C $, intersezione (con ordinata positiva) dell'asse di $ AB $ con la circonferenza do centro $ A $ e raggio $ 27 $, è il centro della circonferenza di raggio $ 27 $ circoscritta al triangolo cercato.
Essendo $ AB+BP+AP=134 $, $ P $ è un punto dell'ellisse di fuochi $ A $ e $ B $, luogo dei punti che formano con $ AB $ un triangolo di perimetro $ 134 $, che viene disegnato da GeoGebra.
L'intersezione $ G $ ( ho scelto quella di maggior ascissa) fra le due curve fornisce il terzo vertice del triangolo cercato; le sue bisettrici in $ B $ e $ G $ (tratteggiate in figura) si intersecano in $ I $ incentro del triangolo.
L'ordinata di questo punto è il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo. In rosso è riportato il luogo descritto da $ I $ al variare di $ c $ e, in verde la retta $ y=12 $, solo sfiorata dal luogo.
Per chi, come me, ha problemi di risoluzione, riporto un ingrandimento con le coordinate del punto di minimo scostamento.

L’allegato Trimpz.png non è più disponibile

Ciao