Questo esercizio contiene complicazioni di calcolo messe apposta per mascherare la semplicità della struttura.
In questi casi, la strategia di Pasquale è molto utile.
In questo specifico caso bisogna però tenere l'unità immaginaria $i$ fuori dagli impacchettamenti.
Ecco la mia proposta, saltando molti passaggi di calcolo.
- rad_dop.png (5.31 KiB) Visto 6588 volte
1) Un esame generale della struttura suggerisce che c'è un radicale doppio e che i trinomi potrebbero essere scomponibili in fattori. Perciò scomponiamo in fattori (poco utile) e portiamo tutto dentro radice (molto utile).
$i \cdot \sqrt{n\cdot \left( n+1\right) \cdot \left( 2 n+1\right) }+\sqrt{n\cdot \left( n+1\right) \cdot \left( {{n}^{2}}-n-1\right) -i \cdot \sqrt{4 \cdot{{n}^{3}}\cdot {{\left( n+1\right) }^{3}}\cdot \left( 2 n+1\right) }}$
2) L'idea è che semplificando il radicale doppio esca una parte immaginaria opposta al primo addendo della struttura.
3) A questo punto, cerchiamo di semplificare il radicale doppio. E qui è utile la strategia di Pasquale, almeno a livello percettivo.
Poniamo:
$n\cdot \left( n+1\right) \cdot \left( {{n}^{2}}-n-1\right)=a$
$4 \cdot{{n}^{3}}\cdot {{\left( n+1\right) }^{3}}\cdot \left( 2 n+1\right)=b$
$n\cdot \left( n+1\right) \cdot \left( 2 n+1\right)=c$
4) Ricordiamo la "formula" dei radicali doppi e applichiamola al caso in cui ci sia una unità immaginaria.
$\sqrt{a -i \cdot \sqrt{b}}=\sqrt{a -\sqrt{-b}}$
La famosa formula è:
$\large\sqrt{a -\sqrt{b}}=\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^2-b}}}{2}}-{\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}$
5) Dobbiamo verificare che $a^2-b$ sia un quadrato.
$a^2-b=n^2\cdot \left( n+1\right)^2 \cdot \left( {{n}^{2}}-n-1\right)^2+4 \cdot{{n}^{3}}\cdot {{\left( n+1\right) }^{3}}\cdot \left( 2 n+1\right)$
$={{n}^{2}}\, {{\left( n+1\right) }^{2}}\, {{\left( {{n}^{2}}+3 n+1\right) }^{2}}$
6) OK, lo è, allora procediamo a semplificare il radicale doppio.
$\sqrt{a -\sqrt{-b}}=\sqrt{{{n}^{2}}\, {{\left( n+1\right) }^{2}}}-\sqrt{-n\, \left( n+1\right) \, \left( 2 n+1\right) }$
$=n \cdot (n+1)-i\sqrt{n\, \left( n+1\right) \, \left( 2 n+1\right) }$
7) Come sospettato all'inizio, la parte immaginaria è opposta al primo addendo della struttura.
Scriviamola in modo semplificato.
$i\sqrt{c}+n \cdot (n+1)-i\sqrt{c}$
Il risultato finale è:
$n \cdot (n+1)$
che è intero se $n$ è intero.
Salvo errori e omissioni.
P.S.
I radicali annidati li fa meglio tex di math, nel mio computer.
math
$\large\sqrt{a -\sqrt{b}}=\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^2-b}}}{2}}-{\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}$
tex
$\large\sqrt{a -\sqrt{b}}=\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^2-b}}}{2}}-{\sqrt {\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}}$
P.P.S.
Se il risultato finale fosse stato:
$\large\frac{n \cdot (n+1)}{2}$
sarebbe stato intero lo stesso.