le pastiglie per la pressione

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ronfo
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le pastiglie per la pressione

Messaggio da ronfo »

Ciao a tutti.
un po' di tempo fa sono stato dal medico che mi ha trovato la pressione alta , mi ha quindi prescritto delle pastiglie , una al giorno .
Passate alcune settimane sono tornato per un controllo e visto che la pressione si era abbassata troppo mi ha suggerito di prendere solo mezza pastiglia .
Il quesito è questo :
nel tubetto ci sono 30 pastiglie
se estraggo una pastiglia intera la divido a metà , chiaramente metà la prendo e l'altra metà la rimetto nel tubetto mentre
se estraggo mezza pastiglia la consumo .
Il primo giorno per forza di cose uscirà una pastiglia intera e il sessantesimo mezza pastiglia ....
ma il cinquantanovesimo giorno che probabilità ho di estrarre una pastiglia intera?
La probabilità è la stessa se nel tubetto ci fossero 15 pastiglie ?
E se fossero 60?
Buona giornata a tutti

panurgo
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Re: le pastiglie per la pressione

Messaggio da panurgo »

Intendi delle pastiglie così
tecnosystemi-11132190-barattolo-pastiglie-sanificanti-200-pz.jpg
tecnosystemi-11132190-barattolo-pastiglie-sanificanti-200-pz.jpg (15.1 KiB) Visto 5206 volte
o delle pastiglie così
images.jpg
images.jpg (9.27 KiB) Visto 5206 volte
:?:
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

ronfo
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Re: le pastiglie per la pressione

Messaggio da ronfo »

Ciao Panurgo
Diciamo che come il primo caso va bene.
buona settimana

Pasquale
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Re: le pastiglie per la pressione

Messaggio da Pasquale »

Direi che al crescere del numero delle pillole, la probabllità richiesta va a decrescere.
In modo approssimativo, per 15 pillole si attesta intorno al 15%, per 30 pillole intorno 10,4 % e per 60 pillole intorno al 7,3% .
I dati sono stati desunti tramite una routine in Decimal Basic, nell'ambito del suo margine di errore.
Invece, per 2 pillole ho detto io a Mr. Decimal che siamo al 50% preciso. :mrgreen:
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$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

franco
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Re: le pastiglie per la pressione

Messaggio da franco »

Ho fatto qualche calcolo con poche pastiglie per vedere se riuscivo a generalizzare.
Con 2 si ottiene 1/2
Con 3 >>> 4/9
Con 4 >>> 97/288
Con 5 i calcoli si fanno sempre più lunghi e "noiosi" quindi mi accontento di accodarmi a quanto detto da Pasquale: la probabilità decresce all'aumentare del numero di pastiglie.
Franco

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Re: le pastiglie per la pressione

Messaggio da Admin »

Bene, questo quesito era finito nel dimenticatoio, nondimeno l'ho trovato molto interessante.
Ci ho giochicchiato per un paio di giorni, spaziando tra Parole di Dyck, Numeri di Catalan, Numeri triangolari, Random walk, per finire con le Catene di Markov.

Vi risparmio le elucubrazioni su buona parte di questi argomenti, terminate in vicoli ciechi, soffermandomi invece sulle catene di markov, che mi hanno portato ad una parvenza di soluzione.
Qua sono doverose alcune premesse:
1. è la prima volta che mi cimento con queste famigerate catene di Markov
2. ho letto il minimo indispensabile che mi permettesse di arrivare a fine problema
3. temo di aver fatto disastri :roll:; ma come è noto, sbagliando s'impara


Consideriamo il seguente grafo ad albero per modellare il problema:

grafo_pastiglie.png
grafo_pastiglie.png (56.12 KiB) Visto 4789 volte

Ogni nodo del grafo rappresenta un possibile stato del processo di acquisizione delle pastiglie.
Ogni nodo è espresso nella forma $S_k (i,j)$ dove
$k$ è il numero dello stato (indica il $k$-esimo stato) (la numerazione degli stati è stata fatta, per comodità, partendo dall'alto e muovendoci verso destra secondo le diagonali discendenti),
$i$ è il numero delle pastiglie intere pescate fino a quel punto, mentre
$j$ è il numero delle pastiglie a metà pescate fino a quel punto.
Gli archi del grafo rappresentano i modi in cui è possibile passare da uno stato al successivo:
in particolare gli archi in blu corrispondono alla pesca di una pastiglia intera dal flacone;
quelli in rosso alla pesca di una pastiglia a metà dal flacone.
Le linee orizzontali tratteggiate invece rappresentano gli istanti di tempo, intesi come giorni; sono pertanto i passi del processo.
I nodi presenti su ognuna di queste linee orizzontali sono i possibili stati in cui può trovarsi il processo in quell'istante.

Detto cio', notiamo che da ogni stato si puo' passare al successivo attraverso due archi, ossia o prendendo una pillola a metà oppure una intera.
Pertanto calcoliamo quanto valgono le probabilità di questi due eventi (che indicherò con $M$ ed $I$ rispettivamente) in un generico stato $S_k (i,j)$.
Per farlo analizziamo il contenuto che il flacone ha in questo stato.
Siccome sono state prese $j$ pillole a metà finora, sicuramente nel flacone vi saranno rimaste $n-j$ pillole, tra intere e metà ($n$ è il numero totale di pillole, $30$ nel nostro caso).
Nello specifico è facile dedurre che la differenza $i-j$ ci da proprio il numero di pillole a metà presenti nel flacone.
Quindi la probabilità di prendere una pastiglia a metà (evento $M$) in un dato stato $S_k (i,j)$ vale

$$ P(M | i,j) = \frac{i-j}{n-j} $$

Ora se $i-j$ sono le pillole a metà presenti nel flacone, e $n-j$ è il totale delle pillole presenti nel flacone,
evidentemente $(n-j) -(i-j)$ sono le pillole intere presenti nel flacone.

Quindi la probabilità di pescare invece una pillola intera (evento $I$) in un dato stato $S_k (i,j)$ vale

$$ P(I | i,j) = \frac{(n-j) -(i-j)}{n-j} = 1 - \frac{i-j}{n-j} $$

Possiamo assegnare quindi queste probabilità agli archi del grafo, sostituendo ad $i$ e $j$ i rispettivi valori dello stato da cui gli archi partono. $n$ è uguale a $30$.
Si ottiene, schematicamente

grafo_pastiglie_prob.png
grafo_pastiglie_prob.png (59.38 KiB) Visto 4789 volte

Modellato così, dal momento che la probabilità di transizione in un nuovo stato si puo' vedere che dipende solo dallo stato precedente,
possiamo vedere il grafo come una catena di Markov, dove ogni nodo del grafo è uno stato della catena,
e le probabilità assegnate ad ogni arco sono le probabilità di transizione tra stati.
Ora il numero totale degli stati (ossia dei nodi del grafo) è facile vedere dal grafo come sia uguale ad un numero triangolare,
in particolare è proprio il $31$-esimo numero triangolare

$n_s = Tr_{31} = \displaystyle\frac{31\cdot 32}{2} = 496$

Quindi $S = \{ \overbrace{S_0, S_1, S_2, ..., S_{495}}^{496} \}$

Calcoliamo ora la matrice di transizione $T$ delle probabilità.
Tale matrice raccoglierà tutte le probabilità di transizione tra stati.
Pertanto sarà una matrice quadrata $496$ x $496$.

Il generico stato complessivo del sistema in un dato instante $t$ (gli istanti sono i giorni) ci sarà dato da un vettore $\mathbf{y}\left(t\right)$ di $496$ elementi.
Ogni elemento rappresenta la probabilità che il sistema si trovi in quello stato.

Pertanto deve valere

$\mathbf{y}\left(t-1\right)\cdot \mathbf{T} = \mathbf{y}\left(t\right)$

per ogni $0 < t \le 60$ .

Andando a sostituire $\mathbf{y}\left(t-1\right)$ con la stessa formula, e procedendo ricorsivamente fino a $\mathbf{y}\left(0\right)$ si ricava

$\mathbf{y}\left(0\right)\cdot \mathbf{T}^t = \mathbf{y}\left(t\right)$

Lo stato iniziale del sistema è ovviamente

$\mathbf{y}\left(0\right) = \overbrace{\left(\begin{array}{c}1&0&0&...&0&0&0\end{array}\right)}^{496}$

Ossia il sistema si trova inizialmente nello stato $S_0$ con probabilità $1$.

Veniamo adesso al quesito del problema, ossia determinare la probabilità che al $59^{\circ}$ giorno venga presa una pastiglia intera.
Osservando il grafo si nota che ciò corrisponde a calcolare la probabilità che il sistema si trovi nello stato $S_{493} (29, 29)$ dopo $58$ giorni.

Quindi non ci resta che determinare il vettore

$\mathbf{y}\left(58\right) = \mathbf{y}\left(0\right)\cdot \mathbf{T}^{58}$

Bene, a questo punto, pur conoscendo le probabilità di transizione per un generico stato $S_k (i,j)$, raccoglierle in una matrice di transizione di dimensioni $496$ x $496$,
non è proprio agevole da farsi a mano :D, per cui mi son servito di un piccolo programmino in C#, che si limita a scrivere lui la matrice in un file di testo con notazione compatibile con quella del buon Mathematica.

Dopo di che diamo tutto in pasto a Mathematica appunto, con il seguente comando:

Codice: Seleziona tutto

c = MatrixPower[{{...},{...},...,{...},{...}}, 58];
s0 = {1, 0, 0, 0, 0, ..., 0, 0, 0, 0, 0};
MatrixForm[s0.c]
ed otteniamo magicamente

$\mathbf{y}\left(58\right)= \overbrace{\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0.820834 & 0.179166 & 0 & 0\end{array}\right)}^{496}$

Ossia, il sistema dopo $58$ giorni ha probabilità $0,179166$ di trovarsi nello stato $S_{493} (29,29)$.
Quindi la probabilità di prendere una pastiglia intera al $59^{\circ}$ giorno ( ossia dopo il $58^{\circ}$) sarà

$P^{58}(I) \approx 17,9166\,\%$

... arrivato fin quaggiù, diciamo che la legge dei grandi numeri mi fa sentire meno solo.

P.S.: aspetto la review inflessibile di Guido (alias panurgo)...

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