Oggi mi sento creativo.

[franco]

6.

Un piccolo avvocato...

Marito nano?
Niño armato?
No: Taormina!

[Tino]

Dunque è un micio, Tino?

Yes

[Jumpy94]

Mannaggia...credevo si trattasse di un problema tranello quello delle persone, per cui ho risposto di seguito



Davvero incredibile, il gatto è stato il primo animale a venirmi in mente, sarà perché fin ora ho avuto solo cani come animali domestici....ma sono contento della mia Desy.

Ciao.

[Admin]

4. Secondo voi, così a occhio se volete (altrimenti fate i conti ), qual è il numero minimo di persone da considerare in modo che la probabilità che almeno due di esse siano nate lo stesso giorno dell'anno sia più del 50% ?

Premetto che sto rivedendo radicalmente molti concetti relativi alla probabilità;
per cui potrei scrivere delle sciocchezze!

Allora,
supponendo che le date di nascita siano tutte equiprobabili (quindi tralasciando il fatto che il 29 Febbraio capita ogni 4 anni) (la probabilità dovrebbe variare di poco), si ha che la probabilità che 2 persone siano nate lo stesso giorno è $\frac 1 {365}$;
se abbiamo 3 persone (A,B e C), la probabilità che almeno 2 di esse siano nate lo stesso giorno ci è data da:

probabilità che A e B siano nate lo stesso giorno +
probabilità che A e C siano nate lo stesso giorno +
probabilità che B e C siano nate lo stesso giorno. = $3\cdot\frac{1}{365}$

quindi se abbiamo $n$ persone, indicando con $p(n)$ la probabilità cercata si ha:

$p(n)={n \choose 2}\cdot\frac 1 {365}$

Ora questa probabilità deve essere maggiore del 50%, ossia:

$p(n)\,\ge\,\frac 1 2 \quad\Rightarrow\quad \frac{n\cdot(n-1)}{2\cdot 365}\,\ge\,\frac 1 2\quad\Rightarrow\quad n^2-n-365\,\ge\,0$

risolvendo l'equazione si ottiene la soluzione positiva

$n\approx 19,61$

Quindi dobbiamo considerare più di 19 persone, per avere una probabilità superiore al 50% che almeno 2 di esse siano nate lo stesso giorno.

A occhio nessuno lo direbbe mai !

Ciao
Admin

[panurgo]

Gianfranco, prova a sostituire qualche valore di n: per esempio, n = 364 ---> p = 181 > 1

[Tino]

se abbiamo 3 persone (A,B e C), la probabilità che almeno 2 di esse siano nate lo stesso giorno ci è data da:

probabilità che A e B siano nate lo stesso giorno +
probabilità che A e C siano nate lo stesso giorno +
probabilità che B e C siano nate lo stesso giorno. = $3\cdot\frac{1}{365}$

quindi se abbiamo $n$ persone, indicando con $p(n)$ la probabilità cercata si ha:

$p(n)={n \choose 2}\cdot\frac 1 {365}$

Mmh, avrei qualcosa da ridire:

forse bisogna tenere conto delle intersezioni degli eventi che hai descritto. Cioè, non puoi sommare le probabilità se gli eventi non sono disgiunti.

A prova di questo, la p(n) che hai definito dovrebbe mantenersi minore di 1 per n=1,...,365, ma se impongo che sia maggiore di 1 ottengo

$\frac{n(n-1)}{2} = {n \choose 2}>365$ ovvero $n(n-1)>2 \cdot 365$

Quest'ultima relazione è verificata per n ben minori di 365 (per esempio, n=30). Ovvero, p(30)>1, il che non può essere

[franco]

Ho provato a ragionare al contrario, calcolando la probabilità che le date di nascita di N persone siano tutte diverse.

Se n=2 chiaramente la probabilità è 364/365
Che anche il 3° del gruppo abbia data diversa la probabilità è 364/365 * 363/365
Che anche il 4° del gruppo abbia data diversa la probabilità è 364/365 * 363/365 * 362/365
...
Che anche il 23° del gruppo abbia data diversa la probabilità 364/365 * ... * 343/365 = 0,493... che sarebbe come dire che la probabilità che tutta questa congiunzione di eventi NON accada (ossia che almeno uno abbia la data uguale ad un'altro) è pari al 50,7% circa per n=23.

Tradotto in formula sarebbe:



PS

Se ho scritto solo castronerie scusatemi in anticipo: di probabilità ne mastico poco e oggi ci sono 38°!

[Br1]

Touché, Franco

[Tino]

... che sarebbe come dire che la probabilità che tutta questa congiunzione di eventi NON accada (ossia che almeno uno abbia la data uguale ad un'altro) è pari al 50,7% circa per n=23.

Corretto!

Questa cosa è nota come "birthday paradox", "paradosso dei compleanni".

Cià.

[franco]

Corretto!

Non ci posso credere

[Admin]

Si,
come mi avete fatto notare, e come ipotizzato all'inizio del mio post,
ho scritto delle sciocchezze!

gli eventi non sono disgiunti...

a questo punto mi tocca calcolare la probabilità giusta riprendendo il mio ragionamento:

Nel caso di 3 persone si ha:

p(3) =
p(A e B nate nello stesso giorno) +
p(A e B non nate nello stesso giorno)*p(C nata nello stesso giorno di A o di B)
= $\frac{1}{365}+\frac{364}{365}\cdot \frac{2}{365}$

Nel caso di 4 persone si ha:

$p(4) = \frac{1}{365}+\frac{364}{365}\cdot \frac{2}{365}+\frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365}\cdot \frac{3}{365}$

Nel caso di $n$ persone si ottiene:

$p(n) = \sum_{i=2}^n\quad{\frac{(i-1)\cdot\prod_{j=0}^{i-2}{(365-j)}}{365^i}}$

che è intrattabile;
per cui mi limito ad una verifica;
per $n = 23$, sostituendo, si ottiene (calcolato con derive ovviamente!):

$p(n) = \sum_{i=2}^{23}\quad{\frac{\,(i-1)\cdot\prod_{j=0}^{i-2}{\left(365-j\right)}}{365^i}} \quad = \quad 0.5072972343$

SUE&O

Ciao
Admin

[Gimmy]

Uffa vi avevo detto che vi avrei postato io la spiegazione del 4.…
Cmq ci ero andato abbastanza vicino (avevo detto 25).
E oltretutto franco l'ha spiegato anche meglio di come io avrei mai potuto, poiché non avendo fatto le sommatorie e… non so come si chiama il pi greco maiuscolo che penso rappresenti un insieme di più prodotti… come la sommatoria una sequenza di somme.
Ringrazio chiunque mi fornisse qualche aiuto per comprendere meglio la formula

Grazie in anticipo!

Inoltre ho letto di recente una formula che può tornare utile anche in questo caso.
$\fs{5} f-f\fs{6}( \fs{3}\frac{f-1}{f} \fs{6})^n$
Tale formula serve per calcolare la media delle volte che un ascensore dovrà fermarsi se vi sono a bordo n persone in un palazzo di f piani; ma può essere usata anche per calcolare il numero di compleanni diversi all'interno di un gruppo di n individui (ponendo f=365).
Se mettiamo n=23 e f=365 la formula sopra assume un valore di 22,319 che rappresenta la media dei compleanni diversi in un gruppo di 23 persone; e dato che la media è minore del numero delle presone è probabile che ci sia un compleanno in comune, anzi, precisamente n-la media, e in questo caso 0,68.

Inoltre con Grapher ho realizzato 2 grafici riguardanti la formula vista prima.
Sul 1° si vede bene come il numero di compleanni diversi (y) tende all'asintoto y=365 al crescere di x (il numero delle persone):

Sul 2° notiamo invece come cresce il numero dei compleanni in comune al crescere di x, questa funzione ha come asintoto la retta y=x-365:


Se qualcuno fosse interessato posso provare a fare e postare anche il grafico della funzione di franco… ma gradirei qualche aiuto per capirla meglio come detto sopra…
Ora vado a nanna. Notte notte!

[franco]

Ti dirò, Gimmy, che neanche io so per certo come si chiama il pi greco grande.
Per analogia con somma-sommatoria, essendo una seguenza di prodotti io la chiamo "produttoria"!
(la chiamo così nei discorsi con me stesso, visto che fra lavoro e amicizie non conosco nessuno interessato a conversazioni su questo argomento ).

Comunque il numeratore della formula che ho postato rappresenta il prodotto di n termini decrescenti da 366-1 a 366-n

Il fatto che abbia scritto (365-i+1) anzichè (366-i) è solo un tentativo di rendere la formula più elegante!

A questo punto approfitto per fare una proposta alla comunità:

Perchè non apriamo un topic (di quelli che restano sempre in cima alla lista) dove postare informazioni sui software interessanti?
Solo in questo topic si legge:

con Grapher ho realizzato 2 grafici

calcolato con derive

Sembrano attraenti ma non ho la minima idea di dove andarli a pescare, del fatto che siano free o a pagamento ecc. ecc.

Che ne pensate?

ciao

[Gimmy]

Grazie tantissimo franco per:
a) ora è tutto molto più chiaro;
b) ti confermo che il pi greco maiuscolo si chiama produttoria;
c) mi complimento ancora per la spiegazione del paradosso;
d) e sono d'accordissimo con l'idea del topic sui software utili…

In questo caso vi dirò che purtroppo Grapher è nella dotazione di base di Mac OS X e non lo trovo altrimenti… esistono tuttavia molti altri software di cui parlare in un'area apposita.
Tanto per incominciare derive non l'ho mai sentito e poi lo sapevate che hanno risolto il gioco della dama?
Ma come si dice: "Questa è un'altra storia… o un altro topic".
Fatemi sapere… non vorrei in un imminente futuro scrivere un topic che verrà chiuso…

[Tino]

@Pietro: grazie per la tua soluzione alternativa!

@Gimmy: molto interessante la formula dell'ascensore e dei piani.

@Franco: osservo che il paradosso dei compleanni non è altro che un conteggio delle funzioni iniettive tra due insiemi dati. Infatti se A è l'insieme delle persone e B è l'insieme dei giorni dell'anno, associare ad ogni persona una data di nascita significa definire una funzione f:A --> B, e richiedere che almeno due persone compiano gli anni lo stesso giorno significa richiedere che la f non sia iniettiva. Quindi il tuo procedimento, Franco, è traducibile in questi termini: hai contato le funzioni iniettive da A in B, trovando il numero di "casi sfavorevoli", e poi hai diviso per la cardinalità di $B^A$, ovvero il numero di "casi possibili".

@tutti: bene, con questo vi comunico che domani vado in giro per l'Italia a giocare a scacchi (che ancora non sono stati risolti! ) e torno domenica prossima. Saluti!