A proposito di probabilità...

[Tino]

... vi riporto un interessante quesito la genialità della cui soluzione che conosco non la metto certo in dubbio

Esercizio: Ad una votazione vi sono solo due candidati, che chiameremo A e B. Il candidato A riceve n voti, il candidato B ne riceve m, con n>m. Non vi sono schede nulle o bianche. Lo spoglio delle schede avviene una scheda per volta. Qual è la probabilità che ad ogni momento dello spoglio il candidato A sia in vantaggio sul candidato B o alla pari?

(da "Probabilità e Statistica", Tiziano Vargiolu; dall'originale di Paolo Dai Pra)

PS: è logicamente corretta la prima frase che ho scritto?

[franco]

Mi riesce un po' difficile spiegare il ragionamento tant'è che avevo lasciato passare un po' di tempo sperando che qualcuno postasse la soluzione.
Visto che non è successo io butto giù la mia ipotesi di soluzione senza commenti:

$$$ \prod\limits_{i = 0}^{m - 1} {{{n - i} \over {n + m - 2i}}} $$$

Se dovesse risultare che ci ho preso proverò a mettere nero su bianco le mie elucubrazioni

[Tino]

La tua espressione non coincide con quella che conosco io. Se p(n,m) indica quella che conosco io, allora ho che p(4,2)=3/5, mentre se sostituisco n=4 e m=2 nella tua, risulta 1/2.

Ora, io ho esaminato attentamente la soluzione che conosco e mi sembra giusta, quindi devo dedurre che la tua soluzione purtroppo non lo è

In ogni caso potresti proporci la tua soluzione, credo che sarebbe interessante!

Ciao.

[franco]

Hai indubbiamente ragione, la mia formula non regge alla verifica .

Comunque a questo punto, piuttosto che cercare di trascrivere i ragionamenti che mi hanno portato a quel risultato, cercherò di trovare la soluzione giusta!

Ciao

[Tino]

Legittimo

Quandunque vogliate me di inserire (per usare un "inglesismo" ) la soluzione geniale di cui sono a conoscenza, avvertitemi, tenendo presente che probabilmente da domani a sabato prossimo non potrò utilizzare internet, e io subitamente (eventualmente tenendo conto di tale limitazione) provvederò!

Ciao

[Admin]

Ciao Tino,
sto provando a risolvere il tuo esercizio;

utilizzando l'approccio frequentistico, si calcola facilmente il numero di "casi possibili";
un pò più complesso è il calcolo dei "casi favorevoli";
mi sono imbattuto in un bel pò di coefficienti binomiali;
alla fine sono riuscito a ricavare una formula generica in funzione di n ed m;

non so se sia giusta;
per cui prima di postarla vorrei una conferma:

$p(9,6) = \frac{2}{5}\quad\quad$?

Ciao
Admin

[panurgo]

Sta partendo per la montagna e non ho tempo di articolare la mia risposta

$p \/ = \/ 1 \/ - \/ \frac {\sum_{\script i = 1}^{\script n} {{m+n-2i+1} \choose {n-i}}}{{m + n} \choose n}$

ne tantomento di trovare un'espressione più compatta (o geniale )

[Admin]

Si Pan,
la tua formula equivale a quella che ho trovato io (invertendo m ed n però!), ossia:

$p(n,m)=1-\frac{n+m \choose n+1}{n+m \choose m}$

questo perchè

${n \choose m} = {n \choose m-1} +{n-1 \choose m-1}+...+{m-1 \choose m-1}$

Ciao
Admin

[panurgo]

Provo a spiegarmi in fretta



1. ciascun cammino nel reticolo è un modo diverso di avere lo stesso punteggio finale
2. ciascun cammino è equiprobabile (a priori)
3. il numero totale di cammini è ${{m + n} \choose n}$: nel caso di questo reticolo, ${{5 + 3} \choose 3$
4. i cammini che passano per i punti a sinistra della diagonale tratteggiata implicano che B > A e quindi sono quelli sfavorevoli; questi sono anche i più facili da contare
5. posso raggiungere questi cammini solo passando da punti del reticolo che giacciono sulla diagonale tratteggiata
6. dal punto (0,0) posso raggiungere il punto (0,1): tutti i cammini che passano da quel punto sono ${{m + n - 1} \choose {n - 1}}$
7. dal punto (1,1) posso raggiungere il punto (1,2) e quindi devo contare tutti i cammini che passano per quel punto ${{m + n - 3} \choose {n - 2}}$
8. questo si ripete per tutti i punti sulla diagonale e il totale della sommatoria rappresenta il numero di casi sfavorevoli: dividento per il totale e sottraendo il risultato da 1 si ottiene la probabilità cercata

[Tino]

Ciao ragazzi,

ho pochissimo tempo per rispondere. Siete indubbiamente sulla strada giusta.

@Admin: p(9,6)=2/5. Sì è vero.

Ciao.

[Admin]

Ciao ragazzi,

ho pochissimo tempo per rispondere. Siete indubbiamente sulla strada giusta.

Ciao Tino, non ho capito;
significa che le formule postate da me e Panurgo non sono corrette?

Ciao
Admin

[Tino]

Ciao ragazzi,

ho pochissimo tempo per rispondere. Siete indubbiamente sulla strada giusta.

Ciao Tino, non ho capito;
significa che le formule postate da me e Panurgo non sono corrette?

Ciao
Admin

Sono corrette. Scusate ma quando ho scritto il messaggio ero veramente di fretta e non ho notato che avevate già esposto la formula risolutiva.

Riscrivendo,

$p(n,m) = 1-\frac{n+m \choose n+1}{n+m \choose m} = 1-\frac{\frac{(n+m)!}{(m-1)!(n+1)!}}{\frac{(n+m)!}{n!m!}} = 1-\frac{n!m!}{(m-1)!(n+1)!} = 1-\frac{m}{n+1} = \frac{n-m+1}{n+1}$

bello.

Ciao.

[Admin]

Ciao Tino;
mi era sfuggita questa ulteriore semplificazione;
decisamente più elegante!

Ciao
Admin