A proposito di probabilità...
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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A proposito di probabilità...
... vi riporto un interessante quesito la genialità della cui soluzione che conosco non la metto certo in dubbio
Esercizio: Ad una votazione vi sono solo due candidati, che chiameremo A e B. Il candidato A riceve n voti, il candidato B ne riceve m, con n>m. Non vi sono schede nulle o bianche. Lo spoglio delle schede avviene una scheda per volta. Qual è la probabilità che ad ogni momento dello spoglio il candidato A sia in vantaggio sul candidato B o alla pari?
(da "Probabilità e Statistica", Tiziano Vargiolu; dall'originale di Paolo Dai Pra)
PS: è logicamente corretta la prima frase che ho scritto?
Esercizio: Ad una votazione vi sono solo due candidati, che chiameremo A e B. Il candidato A riceve n voti, il candidato B ne riceve m, con n>m. Non vi sono schede nulle o bianche. Lo spoglio delle schede avviene una scheda per volta. Qual è la probabilità che ad ogni momento dello spoglio il candidato A sia in vantaggio sul candidato B o alla pari?
(da "Probabilità e Statistica", Tiziano Vargiolu; dall'originale di Paolo Dai Pra)
PS: è logicamente corretta la prima frase che ho scritto?
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Mi riesce un po' difficile spiegare il ragionamento tant'è che avevo lasciato passare un po' di tempo sperando che qualcuno postasse la soluzione.
Visto che non è successo io butto giù la mia ipotesi di soluzione senza commenti:
$$$ \prod\limits_{i = 0}^{m - 1} {{{n - i} \over {n + m - 2i}}} $$$
Se dovesse risultare che ci ho preso proverò a mettere nero su bianco le mie elucubrazioni
Visto che non è successo io butto giù la mia ipotesi di soluzione senza commenti:
$$$ \prod\limits_{i = 0}^{m - 1} {{{n - i} \over {n + m - 2i}}} $$$
Se dovesse risultare che ci ho preso proverò a mettere nero su bianco le mie elucubrazioni
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
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someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
La tua espressione non coincide con quella che conosco io. Se p(n,m) indica quella che conosco io, allora ho che p(4,2)=3/5, mentre se sostituisco n=4 e m=2 nella tua, risulta 1/2.
Ora, io ho esaminato attentamente la soluzione che conosco e mi sembra giusta, quindi devo dedurre che la tua soluzione purtroppo non lo è
In ogni caso potresti proporci la tua soluzione, credo che sarebbe interessante!
Ciao.
Ora, io ho esaminato attentamente la soluzione che conosco e mi sembra giusta, quindi devo dedurre che la tua soluzione purtroppo non lo è
In ogni caso potresti proporci la tua soluzione, credo che sarebbe interessante!
Ciao.
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Hai indubbiamente ragione, la mia formula non regge alla verifica .
Comunque a questo punto, piuttosto che cercare di trascrivere i ragionamenti che mi hanno portato a quel risultato, cercherò di trovare la soluzione giusta!
Ciao
Comunque a questo punto, piuttosto che cercare di trascrivere i ragionamenti che mi hanno portato a quel risultato, cercherò di trovare la soluzione giusta!
Ciao
Franco
ENGINEER
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Legittimo
Quandunque vogliate me di inserire (per usare un "inglesismo" ) la soluzione geniale di cui sono a conoscenza, avvertitemi, tenendo presente che probabilmente da domani a sabato prossimo non potrò utilizzare internet, e io subitamente (eventualmente tenendo conto di tale limitazione) provvederò!
Ciao
Quandunque vogliate me di inserire (per usare un "inglesismo" ) la soluzione geniale di cui sono a conoscenza, avvertitemi, tenendo presente che probabilmente da domani a sabato prossimo non potrò utilizzare internet, e io subitamente (eventualmente tenendo conto di tale limitazione) provvederò!
Ciao
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
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(Peril At End House)
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Ciao Tino,
sto provando a risolvere il tuo esercizio;
utilizzando l'approccio frequentistico, si calcola facilmente il numero di "casi possibili";
un pò più complesso è il calcolo dei "casi favorevoli";
mi sono imbattuto in un bel pò di coefficienti binomiali;
alla fine sono riuscito a ricavare una formula generica in funzione di n ed m;
non so se sia giusta;
per cui prima di postarla vorrei una conferma:
$p(9,6) = \frac{2}{5}\quad\quad$?
Ciao
Admin
sto provando a risolvere il tuo esercizio;
utilizzando l'approccio frequentistico, si calcola facilmente il numero di "casi possibili";
un pò più complesso è il calcolo dei "casi favorevoli";
mi sono imbattuto in un bel pò di coefficienti binomiali;
alla fine sono riuscito a ricavare una formula generica in funzione di n ed m;
non so se sia giusta;
per cui prima di postarla vorrei una conferma:
$p(9,6) = \frac{2}{5}\quad\quad$?
Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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Sta partendo per la montagna e non ho tempo di articolare la mia risposta
$p \/ = \/ 1 \/ - \/ \frac {\sum_{\script i = 1}^{\script n} {{m+n-2i+1} \choose {n-i}}}{{m + n} \choose n}$
ne tantomento di trovare un'espressione più compatta (o geniale )
$p \/ = \/ 1 \/ - \/ \frac {\sum_{\script i = 1}^{\script n} {{m+n-2i+1} \choose {n-i}}}{{m + n} \choose n}$
ne tantomento di trovare un'espressione più compatta (o geniale )
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Si Pan,
la tua formula equivale a quella che ho trovato io (invertendo m ed n però!), ossia:
$p(n,m)=1-\frac{n+m \choose n+1}{n+m \choose m}$
questo perchè
${n \choose m} = {n \choose m-1} +{n-1 \choose m-1}+...+{m-1 \choose m-1}$
Ciao
Admin
la tua formula equivale a quella che ho trovato io (invertendo m ed n però!), ossia:
$p(n,m)=1-\frac{n+m \choose n+1}{n+m \choose m}$
questo perchè
${n \choose m} = {n \choose m-1} +{n-1 \choose m-1}+...+{m-1 \choose m-1}$
Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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www.pvitelli.net
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Provo a spiegarmi in fretta
1. ciascun cammino nel reticolo è un modo diverso di avere lo stesso punteggio finale
2. ciascun cammino è equiprobabile (a priori)
3. il numero totale di cammini è ${{m + n} \choose n}$: nel caso di questo reticolo, ${{5 + 3} \choose 3$
4. i cammini che passano per i punti a sinistra della diagonale tratteggiata implicano che B > A e quindi sono quelli sfavorevoli; questi sono anche i più facili da contare
5. posso raggiungere questi cammini solo passando da punti del reticolo che giacciono sulla diagonale tratteggiata
6. dal punto (0,0) posso raggiungere il punto (0,1): tutti i cammini che passano da quel punto sono ${{m + n - 1} \choose {n - 1}}$
7. dal punto (1,1) posso raggiungere il punto (1,2) e quindi devo contare tutti i cammini che passano per quel punto ${{m + n - 3} \choose {n - 2}}$
8. questo si ripete per tutti i punti sulla diagonale e il totale della sommatoria rappresenta il numero di casi sfavorevoli: dividento per il totale e sottraendo il risultato da 1 si ottiene la probabilità cercata
1. ciascun cammino nel reticolo è un modo diverso di avere lo stesso punteggio finale
2. ciascun cammino è equiprobabile (a priori)
3. il numero totale di cammini è ${{m + n} \choose n}$: nel caso di questo reticolo, ${{5 + 3} \choose 3$
4. i cammini che passano per i punti a sinistra della diagonale tratteggiata implicano che B > A e quindi sono quelli sfavorevoli; questi sono anche i più facili da contare
5. posso raggiungere questi cammini solo passando da punti del reticolo che giacciono sulla diagonale tratteggiata
6. dal punto (0,0) posso raggiungere il punto (0,1): tutti i cammini che passano da quel punto sono ${{m + n - 1} \choose {n - 1}}$
7. dal punto (1,1) posso raggiungere il punto (1,2) e quindi devo contare tutti i cammini che passano per quel punto ${{m + n - 3} \choose {n - 2}}$
8. questo si ripete per tutti i punti sulla diagonale e il totale della sommatoria rappresenta il numero di casi sfavorevoli: dividento per il totale e sottraendo il risultato da 1 si ottiene la probabilità cercata
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Ciao ragazzi,
ho pochissimo tempo per rispondere. Siete indubbiamente sulla strada giusta.
@Admin: p(9,6)=2/5. Sì è vero.
Ciao.
ho pochissimo tempo per rispondere. Siete indubbiamente sulla strada giusta.
@Admin: p(9,6)=2/5. Sì è vero.
Ciao.
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Ciao Tino, non ho capito;Tino ha scritto:Ciao ragazzi,
ho pochissimo tempo per rispondere. Siete indubbiamente sulla strada giusta.
significa che le formule postate da me e Panurgo non sono corrette?
Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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www.pvitelli.net
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Sono corrette. Scusate ma quando ho scritto il messaggio ero veramente di fretta e non ho notato che avevate già esposto la formula risolutiva.Admin ha scritto:Ciao Tino, non ho capito;Tino ha scritto:Ciao ragazzi,
ho pochissimo tempo per rispondere. Siete indubbiamente sulla strada giusta.
significa che le formule postate da me e Panurgo non sono corrette?
Ciao
Admin
Riscrivendo,
$p(n,m) = 1-\frac{n+m \choose n+1}{n+m \choose m} = 1-\frac{\frac{(n+m)!}{(m-1)!(n+1)!}}{\frac{(n+m)!}{n!m!}} = 1-\frac{n!m!}{(m-1)!(n+1)!} = 1-\frac{m}{n+1} = \frac{n-m+1}{n+1}$
bello.
Ciao.
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Ciao Tino;
mi era sfuggita questa ulteriore semplificazione;
decisamente più elegante!
Ciao
Admin
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Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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