Improbabili pareggi

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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franco
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Improbabili pareggi

Messaggio da franco »

Antine e Bastianu lanciano ciascuno una coppia di dadi ottenendo un punteggio (somma dei punti dei due dadi) compreso fra 2 e 12.
a/ Qual'è la probabilità che i due giocatori ottengano lo stesso punteggio?

E quale sarebbe tale probabilità nel caso in cui al posto dei normali dadi cubici utilizzassero:
b/ due tetraedri
c/ due ottaedri
d/ due dodecaedri
e/ due icosaedri ?

ciao


Franco


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G10520

Jules et Romain jettent chacun une paire de dés (cubiques), ce qui donne à chacun un résultat allant de 2 à 12 points.
a/ Quel est la probabilité que leurs deux lancers donnent des résultats égaux ?
Qu'en serait-il si les dés, au lieu d'être cubiques, sont
b/ des tétraèdres,
c/ des octaèdres,
d/ des dodécaèdres,
e/ des icosaèdres ?
Franco

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noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

panurgo
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Re: Improbabili pareggi

Messaggio da panurgo »

Un dado ordinario ha sei facce: questo ci da $36$ coppie ordinate. Osservando la tabella delle somme

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|}
& \mathit{1} & \mathit{2} & \mathit{3} & \mathit{4} & \mathit{5} & \mathit{6} \\ \hline
\mathit{1} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
\mathit{2} & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
\mathit{3} & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
\mathit{4} & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\mathit{5} & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline
\mathit{6} & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline
\end{array}$

vediamo che sono possibili i punteggi da $2$ a $12$ e che la frequenza di ciascun punteggio segue una distribuzione triangolare

$\displaystyle\left\{\frac1{36},\,\frac2{36},\,\frac3{36},\,\frac4{36},\,\frac5{36},\,\frac6{36},\,\frac5{36},\,\frac4{36},\,\frac3{36},\,\frac2{36},\,\frac1{36}\right\}$

Le frequenze di coppie di lanci uguali sono

$\displaystyle\left\{\frac{1^2}{36^2},\,\frac{2^2}{36^2},\,\frac{3^2}{36^2},\,\frac{4^2}{36^2},\,\frac{5^2}{36^2},\,\frac{6^2}{36^2},\,\frac{5^2}{36^2},\,\frac{4^2}{36^2},\,\frac{3^2}{36^2},\,\frac{2^2}{36^2},\,\frac{1^2}{36^2}\right\}$

e la frequenza complessiva è la somma di queste frequenze

$\displaystyle\sum_{k=1}^6{\frac{k^2}{36^2}}+\sum_{k=5}^1{\frac{k^2}{36^2}}=\frac1{36^2}\left[\frac{6\left(6+1\right)\left(2\cdot 6+1\right)}6+\frac{\left(6-1\right)6\left(2\cdot 6-1\right)}6\right]=\frac{73}{648}\approx11,3\,\%$

Generalizzando per un dado con $n$ facce, la frequenza complessiva è

$\displaystyle\sum_{k=1}^n{\frac{k^2}{n^4}}+\sum_{k=n-1}^1{\frac{k^2}{n^4}}=\frac1{n^4}\left[\frac{n\left(n+1\right)\left(2\cdot n+1\right)}6+\frac{\left(n-1\right)n\left(2\cdot n-1\right)}6\right]=\frac{2n^2+1}{3n^3}$

Tetraedro, $\frac{11}{64}\approx 17,2\,\%$; ottaedro, $\frac{43}{512}\approx 8,4\,\%$; dodecaedro, $\frac{289}{5184}\approx 5,6\,\%$; icosaedro, $\frac{267}{8000}\approx 3,3\,\%$

La probabilità? Ah, sì: assegnando come probabilità il valore della frequenza in base al Principio di indifferenza, tetraedro, $\frac{11}{64}\approx 17,2\,\%$; esaedro, $\frac{73}{648}\approx 11,3\,\%$; ottaedro, $\frac{43}{512}\approx 8,4\,\%$; dodecaedro, $\frac{289}{5184}\approx 5,6\,\%$; icosaedro, $\frac{267}{8000}\approx 3,3\,\%$...
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

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