Problema dei due fratelli e del gregge di pecore

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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panurgo
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Problema dei due fratelli e del gregge di pecore

Messaggio da panurgo »

Due fratelli, Alvise e Berto, posseggono un gregge di n pecore.
Stufi della vita del pastore e desiderosi di avventura decidono di disfarsi delle pecore che vengono vendute al prezzo di n denari l’una: la somma ricavata è formata da un certo numero di banconote da $10$ denari e alcune (meno di dieci) monete da $1$ denaro.
I due fratelli prendono a turno le banconote ad una ad una: Alvise, che ha preso la prima banconota, prende anche l’ultima.
Berto protesta dicendo di aver ricevuto meno della metà del ricavato anche dopo aver intascato tutte le monete da $1$ denaro: quanti denari deve scucire Alvise perché quello spilorcio di Berto chiuda il becco? O, se preferite l’altra campana, quale somma di cui si è proditoriamente impadronito, quel ladrone di Alvise deve versare al fratello per rendere equa la divisione?
il panurgo

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franco
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Re: Problema dei due fratelli e del gregge di pecore

Messaggio da franco »

2 denari.

n^2 deve essere un numero con la cifra delle decine dispari e quella delle unità pari (altrimenti i due continuerebbero a bisticciare sinchè non salta fuori una monetina da 50 centesimi ...).

Questa situazione si verifica per n=4, n=6, n=14 ... (*)
In tutti tali i casi n^2 ha un numero di unità pari a 6 e quindi Alvise deve dare due denari a Berto per pareggiare i conti.

(*) Non ho la certezza che non ci siano anche altri quadrati perfetti che rispettino le condizioni ma terminino con una cifra diversa. Ciò però significherebbe che non c'è una soluzione unica ma la mia sarebbe valida comunque
Franco

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franco
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Re: Problema dei due fratelli e del gregge di pecore

Messaggio da franco »

vediamo di migliorare un po' la risposta ...

Sia $n=10d+u$.
Ne consegue $n^2=100d^2+20du+u^2$
Perchè la cifra delle unità di $n^2$ sia pari, è necessario che sia pari $u^2$ e quindi $u$.

La cifra delle decine di $n^2$ è data dalla somma di $2du$ e la cifra delle decine di $u^2$.
Poichè $2du$ è evidentemente pari, alla fine conta solo $u^2$.
Escludendo i casi con $u$ dispari e $u=0$ (non ci sarebbero monete nell'incasso totale) rimangono:
$u=2 -> u^2=4$ decine pari non OK
$u=4 -> u^2=16$ OK
$u=6 -> u^2=36$ OK
$u=8 -> u^2=64$ decine pari non OK
Da cui si ricava che $n^2$ è un numero che termina per 6 e ha le decine dispari; quindi $n^2/2$ termina per 8 (*).



(*) aggiunto successivamente in rosso
Ultima modifica di franco il lun dic 09, 2019 12:11 pm, modificato 1 volta in totale.
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Bruno
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Re: Problema dei due fratelli e del gregge di pecore

Messaggio da Bruno »

D'accordo con Franco ;)
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Re: Problema dei due fratelli e del gregge di pecore

Messaggio da Bruno »

Riesco ora a riportare la mia traccia.
t è il numero di banconote da 10 denari che tocca a Berto, t+1 è quello che tocca al fratello.
u<10 è il numero di monete da 1 denaro (intascate da Berto).
Pertanto: 10·(2·t+1)+u = n².
Dobbiamo cercare x in modo che u+x = 10-x, cioè u = 10-2·x, quindi: 20·(t+1)-2·x = n².
Si vede subito che n è pari e che 2·x dev'essere divisibile per 4, perciò anche x è pari.
Poiché 0 < x ≤ 4, se fosse x=4 avremmo u=2, ma nessun quadrato termina con 2.
Dunque: x=2 (denari).
(Bruno)

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delfo52
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Re: Problema dei due fratelli e del gregge di pecore

Messaggio da delfo52 »

il testo è poco chiaro. Ovvero le domande, che dovrebbero essere equivalenti, sono in realtà differenti. Se lo scopo è calmare le richieste di B. non solo 2, ma anche 3, 4 e 5 sono risposte corrette.
Enrico

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