BASE CINQUE FORUM

Josto e sua moglie Gonaria sono una coppia di nonni che organizzano una riunione di famiglia.
Tutti i partecipanti hanno età differenti (espresse in anni interi).
Josto, di 11 anni più vecchio di Gonaria, è il più anziano di tutti ma ancora lontano dall'essere centenario.
Ad un tavolino sono seduti i 6 più piccoli e la somma delle loro età è un quadrato perfetto.
All'altro tavolo siedono adulti e adolescenti; l'età di ognuno è pari al prodotto delle età dei piccoli presi due a due.

Determinare l'ètà di tutti i membri della famiglia e spiegare perchè la soluzione è unica.

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E341

Siano $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5<x_6$ le età dei più piccoli.

Le età dei nonni sono $ x_4 x_6$ e $ x_5 x_6$, infatti deve essere $ x_4 x_6-x_5 x_6=11$ da cui seguono $x_6=11$ e $ x_5=x_4+1$: se fossero, per esempio, $x_4 x_5$ e $x_5 x_6$ ne seguirebbe che $x_6$ sia il successore di $x_4$, contro le ipotesi.

Deve anche essere $11x_5<100$ cioè $x_5\leq 9$ e $x_4\leq 8$.

Se fosse $x_1=1$, cinque età sarebbero ripetute contro le ipotesi.

Deve essere $x_1 x_2>11$: se fosse $x_1=2$ dovrebbe essere $\mathbf{x}\equiv\left\{2,6,7,8,9,11\right\}$ e $\sum{x_i}=43$ ma la somma delle età è un quadrato perfetto maggiore di 26 e minore di 46 (rispettivamente valore minimo e massimo della somma nelle condizioni poste).

Ne consegue che deve essere $\sum{x_i}=36$, $x_1=3$ da cui seguono $\mathbf{x}\equiv\left\{3,4,5,6,7,11\right\}$ e $\mathbf{y}\equiv\left\{12,15,18,20,21,24,28,30,33,35,42,44,55,66,77\right\}$.