Un cane, una catena, un faro…

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panurgo
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Un cane, una catena, un faro…

Messaggio da panurgo »

Un cane è legato ad un punto sul fianco di un faro circolare di raggio $1$ con una catena lunga $\pi$: a) quanto lunga è la strada percorsa dal cane se esso cammina tenendo tesa al massimo la catena e b) quanto terreno può coprire il cane tenendo conto che non può entrare nel faro?
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Pasquale
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Re: Un cane, una catena, un faro…

Messaggio da Pasquale »

Dopo un calcolo approssimativo, alla 1^ domanda risponderei con un circa 8,07 o poco meno, se non proprio 8. Alla seconda, intorno a 10,10 se non proprio 10.

-----------

Ho ricontrollato i calcoli ed i risultati, in base al procedimento senza integrali, non dovrebbe essere molto distante da un calcolo con strumenti matematici diversi.
Quindi: 8,076 per il precorso del cane e 10,102 per l'area coperta dal guinzaglio rotante, esclusa quella del semi-faro.
Non nascondo che, come abbastanza di solito, il compito l'ho affidato al Sign. Decimal.
Ultima modifica di Pasquale il lun nov 25, 2019 9:36 pm, modificato 1 volta in totale.
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panurgo
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Re: Un cane, una catena, un faro…

Messaggio da panurgo »

Caro e ottimo Pasquale, togli il faro e lascia la catena ancorata nello stesso punto: il cane percorre e copre una circonferenza di raggio $\pi$ ($l=2\pi^2\sim20$ e $S=\pi^3\sim30$)...
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Pasquale
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Re: Un cane, una catena, un faro…

Messaggio da Pasquale »

Ho pensato che, tenendo la catena sempre tesa, il percorso del cane assumesse la forma di una curva spiralidoide terminante sul lato opposto del faro.
Se tale presupposto risulta errato, o pur non essendolo ho impostato un algoritmo errato, allora....pazienza.
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panurgo
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Re: Un cane, una catena, un faro…

Messaggio da panurgo »

La tua intuizione funzione bene: la spiraloide termina sul faro, ma dove? (Il raggio del faro è $1$, la lunghezza della catena è $\pi$)
Comunque dalla parte opposta del faro il cane copre un intero semicerchio di raggio $\pi$...
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Pasquale
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Re: Un cane, una catena, un faro…

Messaggio da Pasquale »

Allora, in prima battuta dico come ho interpretato il testo del problema e per farlo aggiungo la foto di un disegno, che non è la fine del mondo, non avendo al momento uno strumento più adatto disponibile, a causa di varie problematiche che devo risolvere. Fra l'altro, Il p.c. che sto utlizzando al momento non è neanche il mio.
.
CANE.JPG
CANE.JPG (16.15 KiB) Visto 9098 volte
.
Dunque io ho inteso che, all'inizio del percorso e per tutta la durata del cammino del cane, il guinzaglio sia sempre in tensione.
Su tale presupposto e facento riferimento al disegno, il percorso può iniziare dalla posizione $B_1$ o $B_2$, escludendo le infinite altre intermedie fra le due e simmetrie varie.
E' evidente che se si parte da $B_1$, fino a $B_2$ il guinzaglio non incontra ostacoli ed è quindi libero di ruotare lungo un arco di circonferenza, finché non diviene tangente al faro nel punto di attacco: da quel momento in poi, procedendo in senso antiorario, inizia ad arrotolarsi sulla parete circolare del faro per tutta la sua lunghezza, cioè $\pi$.
Io ho provato a calcolare il percorso che inizia da $B_2$, posto in alto sul disegno. Se fossi partito da $B_1$, ai risultati ottenuti, errati o meno che siano, avrei dovuto aggiungere 1/4 di circonferenza di raggio $\pi$ al percorso del cane ed 1/4 dell'area del cerchio di raggio $\pi$ all'area della superficie coperta dall'avanzare del guinzaglio. Se la partenza fosse stata stabilita in basso, cioè nel punto simmetrico a $B_2$, il di più libero sarebbe stato un semicerchio.
Su tale premessa, ho provato a calcolare l'arco che va da $B_2$ a C e la superficie compresa fra tale arco, fra la sottostante semicirconferenza di raggio 1 ed $ AB_2$, considerando che, al procedere del cane, il guinzaglio si accosta alla parete del faro, accorciadosi nella parte libera, fino a terminare attaccato al faro per tutta la sua lunghezza, che essendo di misura $\pi$, corrisponde alla misura della semicirconferenza del faro, ovvero il percorso del cane termina nel punto C.
Come detto sopra, se non ho commesso errori nell'impostazione della routine, Decimal Basic mi ha dato 8,076 per il precorso del cane e 10,102 per l'area coperta dal guinzaglio rotante ( l'area del faro è stata esclusa, perchè il guinzaglio spazzola solo la superficie esterna allo stesso ).
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Re: Un cane, una catena, un faro…

Messaggio da panurgo »

Quel povero cane, quando non sa come passare il tempo, potrà almeno girare anche dall'altra parte.

Comunque, anche se raddoppiamo i tuoi valori andiamo ancora scarsi: $l=19,739\ldots$, $S=25,838\ldots$.
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Re: Un cane, una catena, un faro…

Messaggio da Pasquale »

Intendi partendo da $B_2$ in senso orario?
In tal caso, considerata l'approssimatività del sistema di calcolo utilizzato, dopo aver aggiunto mezzo cerchio e mezza circonferenza, vedo che gli ordini di grandezza si avvicinano: meno con la l e più con la S ( 17,945 e 25,603 ). Appena possibile devo rivedere la routine (da qualche parte deve esserci un errore).
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franco
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Re: Un cane, una catena, un faro…

Messaggio da franco »

Anche a me risulta un percorso complessivo del cane pari a 19,74 (circa).
Sull'area non mi sono ancora cimentato ma, se non ho sbagliato l'equazione della curva, dovrei arrivarci rapidamente ...

ciao

Franco

(modificato, ho notato un errore)
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Re: Un cane, una catena, un faro…

Messaggio da franco »

franco ha scritto:
mer nov 27, 2019 3:58 pm
Anche a me risulta un percorso complessivo del cane pari a 19,74 (circa).
Per la parte curva in cui la catena si poggia al faro ho ragionato così:
FCC.png
FCC.png (190.08 KiB) Visto 9051 volte
Poi ho fatto lavorare excel calcolando le coordinate del punto P su π/100 e poi sommando tutti i pezzettini ...

P.S. ho provato anche con π/200 e la differenza è dell'ordine dello 0,01% quindi mi accontento così.
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Re: Un cane, una catena, un faro…

Messaggio da franco »

Per quanto riguarda l'area faccio riferimento a questa figura:
FCC1.png
FCC1.png (46.28 KiB) Visto 9042 volte
Sempre facendo lavorare excel con le coordinate dei 100 punti in cui avevo scomposto il tratto a spirale del percorso del cane ottengo:
FCC2.png
FCC2.png (9.81 KiB) Visto 9042 volte
Probabilmente una soluzione analitica è più elegante ma non saprei come fare :D

(non state a fare le pulci alla figura; ho usato strumenti rudimentali ...)

ciao
Franco

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panurgo
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Re: Un cane, una catena, un faro…

Messaggio da panurgo »

Per carità, niente pulci, povero cane…

La catena è assicurata in un punto sul fianco del faro per cui il cane percorrerà un arco di cerchio fino a che la catena non giacerà su una retta tangente al faro stesso: a questo punto, mano a mano che il cane avanza, la catena si avvolge sul fianco del faro diventando via via più corta
CaneCatenaFaro.01.480x480.png
CaneCatenaFaro.01.480x480.png (32.33 KiB) Visto 9031 volte
Il tratto di catena uscente dal fianco del faro e diretto al cane sarà sempre rettilineo e tangente quindi perpendicolare al raggio: con riferimento alla figura osserviamo che l’angolo formato dal segmento rettilineo e dall’orizzontale è uguale all’angolo formato dalla verticale e dal raggio congiungente il centro del faro con il punto di tangenza della catena.
Sia $\vartheta$ tale angolo: le coordinate del punto $\text{C}$ saranno

$
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x=\sin\vartheta+\left(\pi-\vartheta\right)\cos\vartheta \\
\displaystyle y=1-\cos\vartheta+\left(\pi-\vartheta\right)\sin\vartheta
\end{array}\right.
$

con $0<\vartheta<\pi$. Scegliamo di avere il punto di ancoraggio della catena nel centro del sistema di assi cartesiani per avere tutta la curva parametrica nel primo e nel secondo quadrante, cosa che semplificherà il calcolo dell’area.

Per semplificare le equazioni parametriche attuiamo il cambio di variabile $t=\pi-\vartheta$: le equazioni del primo quadrante divengono

$
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x=\sin\left(\pi-t\right)+t\cos\left(\pi-t\right) \\
\displaystyle y=1-\cos\left(\pi-t\right)+t\sin\left(\pi-t\right)
\end{array}\right.
\quad\Longrightarrow\quad
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x=\sin t-t\cos t \\
\displaystyle y=1+\cos t+t\sin t
\end{array}\right.
$

con $0<t<\pi$, tenuto conto delle note identità trigonometriche $\sin\left(\pi-x\right) =\sin x$ e $\cos\left(\pi-x\right) =-\cos x$.

Il cammino percorso dal cane è formato di tre parti: il semicerchio nel terzo e quarto quadrante, il ramo di curva parametrica nel primo quadrante e quello simmetrico nel secondo quadrante.
Il raggio del semicerchio è $\pi$ per cui l’arco è lungo $\pi^2$, il ramo di curva nel secondo quadrante è lungo esattamente quanto quello nel primo: non ci resta che calcolare quest’ultimo.

La lunghezza di un arco di curva parametrica è data dall’integrale del modulo del vettore tangente: il punto $\text{C}\equiv\left(x\left(t\right);y\left(t\right)\right)$ può essere interpretato come il vettore $\text{AC}$ (e un piano cartesiano è anche uno spazio vettoriale); il vettore tangente è il vettore derivata $\text{C}^\prime\equiv\left(x^\prime\left(t\right);y^\prime\left(t\right)\right)$ e il suo modulo vale $\sqrt{x^{\prime\,2}+y^{\prime\,2}}$.

Calcoliamo dunque le derivate

$
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x^\prime=\cos t-\cos t+t\sin t \\
\displaystyle y^\prime=-\sin t+\sin t+t\cos t
\end{array}\right.
\quad\Longrightarrow\quad
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x^\prime=t\sin t \\
\displaystyle y^\prime=t\cos t
\end{array}\right.
$

e

$\displaystyle \left\|\text{C}^\prime\right\|=\sqrt{t^2\sin^2t+t^2\cos^2t}=\left|t\right|=t\qquad\left(t>0\right)$

la lunghezza del ramo di curva vale dunque

$\displaystyle l=\int_0^\pi{t\,dt}=\frac{\pi^2}2$

e la lunghezza del cammino totale del cane è

$\displaystyle\pi^2+2\,\frac{\pi^2}2=2\,\pi^2$

lo stesso che il cane avrebbe compiuto se avesse potuto percorrere tutta la circonferenza.

Procediamo in modo analogo per la superficie (che invidia: avrei dovuto scrivere b) quant’è l’area spazzata dalla catena)
Pasquale ha scritto:
mar nov 26, 2019 3:40 pm
[...] l'area del faro è stata esclusa, perchè il guinzaglio spazzola solo la superficie esterna allo stesso [..]
L’area del semicerchio (di raggio $\pi$) vale $\pi^3/2$: procediamo a calcolare l’area sottostante ai due rami di curva, ovvero il doppio di quella sottostante al ramo di curva del primo quadrante.

Ma prima, un piccolo OT. La mia formazione matematica è stata tutt’altro che sistematica: la maggior parte delle cose che so le ho apprese nella risoluzione di problemi di matematica ricreativa. Questa dell’area di una regione delimitata da una curva parametrica mi ha invece risvegliato una vaga eco di cose che avevo intravisto studiando Istituzioni di Matematiche II (1984: anno, non Orwell): le formule di Green.
Al dì de anco’ (oggigiorno) basta fare: www.formuledigreen.it. Et voila!

$
\begin{array}{lC}
\displaystyle\int\int_D\frac{\partial f}{\partial x}\,dx\,dy=\int_{\gamma^{+}}f\,dy \\
\displaystyle\int\int_D\frac{\partial f}{\partial y}\,dx\,dy=\int_{\gamma^{+}}f\,dx
\end{array}
$

dove $D$ è un Dominio regolare del piano e $\gamma^{+}$ è la frontiera di $D$ (orientata positivamente).

Da queste formule si ricavano quelle per esprimere l’area di un dominio regolare

$\displaystyle \text{area}\left(D\right)=\int\int_D{1\,dx\,dy}=\int_{\gamma^{+}}x\,dy=-\int_{\gamma^{+}}y\,dx$

O anche, visto che i due integrali sono uguali, una combinazione lineare dei due: per esempio

$\displaystyle \text{area}\left(D\right)=\int_{\gamma^{+}}\frac{x\,dy-y\,dx}2$

Ricordiamoci le nostre funzioni con le loro derivate

$
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x=\sin t-t\cos t \\
\displaystyle y=1+\cos t+t\sin t
\end{array}\right.
\qquad
\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle x^\prime=t\sin t \\
\displaystyle y^\prime=t\cos t
\end{array}\right.
$

Ricordiamo che dobbiamo raddoppiare l’integrale e che il cambio di variabile da $\vartheta$ a $t$ ha cambiato l’orientazione della frontiera da positiva a negativa ($\vartheta$ gira nel verso trigonometrico, $t$ in senso orario) e quindi bisogna cambiare segno all’integrale.

$\displaystyle \text{area}\left(D\right)=-\int_0^\pi\left[\left(\sin t-t\cos t\right)\,t\cos t-\left(1+\cos t+t\sin t\right)\,t\sin t\right]\,dt=\int_0^\pi\left(t^2+\,t\sin t\right)\,dt $

Cioè, visto che $t\,\sin t\,dt=dx$,

$\displaystyle\text{area}\left(D\right)=\left[\frac{t^3}3+\sin t-t\cos t\right]_0^\pi=\frac{\pi^3}3+\pi$

L’area spazzata dalla catena sarà dunque

$\displaystyle\frac{\pi^3}3+\pi+\frac{\pi^3}2-\pi=\frac{5\pi^3}6$

(Eh, sì: bisogna togliere $\pi$, l’area del faro)
Ultima modifica di panurgo il ven nov 29, 2019 12:19 pm, modificato 1 volta in totale.
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Re: Un cane, una catena, un faro…

Messaggio da franco »

Bello!
In effetti, con il disegno ruotato di 90° e l'origine sul punto di ancoraggio della catena il calcolo dell'area è più immediato.
Comunque la soluzione analitica era fuori dalla mia portata.
Mi accontento di essermi avvicinato molto al risultato e anche di aver stimato correttamente l'ordine di grandezza dell'errore (0,01%) :D

Una curiosità: la curva "a spirale" percorsa dal cane con la catena tesa ha un nome?
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Re: Un cane, una catena, un faro…

Messaggio da panurgo »

Non mi risulta anche se assomiglia a una Cardioide...
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