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La vedo dura...

Infatti non è vero, Guido

L'asse dell'ipotenusa non interseca la circonferenza nello stesso punto in cui la interseca la perpendicolare al cateto minore passante per il centro.

La differenza è piccolissima, ma c'è.

panurgo ha scritto: ↑

ven ott 18, 2019 4:03 pm

La vedo dura...

Infatti, dalla figura seguente

ricaviamo l’equazione $\left(x+7\right)^2=\left(x+2\right)^2+9^2$ che, con facile algebra, fornisce $x=3,6$.

Se l’intersezione della perpendicolare è veramente il punto medio del segmento allora i segmenti evidenziati in figura
devono essere congruenti e deve valere l’equazione $x^2+4^2=5^2+2^2$ dalla quale ricaviamo immediatemente $x=\sqrt{13}$.

Ma $\sqrt{13}\neq3,6$: come la mettiamo?

Se consideriamo una circonferenza inscritta di raggio pari a $2$ possiamo vedere quanto deve essere lungo il cateto maggiore perché il teorema sia vero
Sostituito il $5$ con $y$ abbiamo

$\displaystyle\left\{\begin{array}{lC} \left(x+y+2\right)^2=\left(x+2\right)^2+(y+4)^2 \\ x^2+4^2=y^2+2^2 \end{array}\right.$

ovvero

$\displaystyle\left\{\begin{array}{lC} x^2 y^2=4y^2+32y+64 \\ x^2=y^2-12 \end{array}\right.$

da cui ricaviamo l’equazione di quarto grado

$\displaystyle y^4-16y^2-32y-64=0$

che diamo in pasto a alpha: l’equazione ha due radici reali, una negativa e una positiva (quella che ci interessa!)

$y=\sqrt {\frac23 \left(4-\frac8{\sqrt[3]{9\sqrt{41}-53}}+\sqrt[3]{9\sqrt{41}-53}\right)}-\sqrt{8-\frac23 \left(4-\frac8{\sqrt[3]{9\sqrt{41}-53}}+\sqrt[3]{9\sqrt{41}-53}\right) +4\sqrt{\frac6{4-\frac8{\sqrt[3]{9\sqrt{41}-53}}+\sqrt[3]{9\sqrt{41}-53}}}}$

ovvero $y=4,9967\ldots$

Perfetto, Guido