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Dato il triangolo ABC i cui lati misurano AB = 15, BC = 14 e CA = 13, si individui il punto P sul lato BC tale per cui la somma delle aree dei cerchi circoscritti ai triangoli ABP e ACP sia minima. Quanto misura BP?

Soit le triangle ABC dont les côtés ont pour longueurs AB = 15, BC = 14 et CA = 13. On trace le point P de BC est tel que la sommes des aires des cercles circonscrits aux triangles ABP et ACP est minimale. Que vaut BP?

D1870

Secondo me conviene che AC e AB siano diametri perché..., quindi...

Intuizione corretta

M'infilo fra i sospensivi "perché..., quindi..." di Gianfranco per trascrivere la risoluzione che è capitato a me di immaginare.


Allora, Franco, innanzitutto traccio la circonferenza C1 a cui appartengono i vertici A e B e il piede dell'altezza AH.
Qualunque circonferenza passante per A, B e P, avente il centro sull'asse di AB ma non coincidente con il centro di C1, ha un raggio maggiore del raggio di C1 perché costituisce l'ipotenusa di un triangolo rettangolo (si tratta comunque di un fatto evidente).
Questo significa che C1 presenta l'area minima.
Stesso discorso potrei fare considerando il lato AC.
Dunque P deve coincidere con H.
Per la determinazione di BP, potrei utilizzare una nota generalizzazione del teorema di Pitagora.
Nel nostro caso si traduce così, giusto per fissare l'idea: 13² = 15² + 14² - 2·14·BP.
Questa relazione può essere trattata mentalmente senza difficoltà, per esempio come segue:
28·BP = 9·25 + 14 + 13 = 9·25 + 9·3 = 9·28,
da cui si ricava subito: BP = 9.

Ragionando al contrario risulta evidente che dato un cerchio la corda più lunga sia il diametro quindi, ribaltando il ragionamento ...
Detto ciò e quindi individuato piuttosto agevolmente il punto P restava il problema di calcolare "a mente" la distanza BP nel nostro specifico triangolo ... chapeau!

franco ha scritto: ↑

ven set 27, 2019 10:51 pm

Ragionando al contrario risulta evidente che dato un cerchio la corda più lunga sia il diametro quindi, ribaltando il ragionamento ...

Proprio così