La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
modulocomplicato
Livello 4
Livello 4
Messaggi: 119
Iscritto il: lun ott 01, 2012 5:30 pm

La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

Messaggio da modulocomplicato »

Nel mio solito stile sono lieto di anticiparvi una figura che mi ha richiesto anni di lavoro.

In pratica ho riscritto il teorema in una forma simmetrica, l'ho appiccicata su un piano cartesiano sotto la curva Y=2X^n e ne ho studiato la derivata prima in ottica di verificare se davvero esistesse un Delta+/- intero dispari... E ovviamente questo accade solo per n=2...

Immagine

Credo sia inutile fare dei commenti, se non che se la comprenderete a fondo sarà anche chiaro il motivo per cui a partire da n=3 non sono più possibilli soluzioni negli interi.

Ho camminato sul filo del rasoio per tanto tempo per cercare di tenere insieme famiglia lavoro e notti in bianco su sta roba... ora è giusto mettere la parola fine...


ciao
Stefano

Gianfranco
Supervisore del sito
Supervisore del sito
Messaggi: 1250
Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
Località: Sestri Levante
Contatta:

Re: La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

Messaggio da Gianfranco »

Ciao Stefano,
ti ringrazio per aver condiviso il tuo lungo lavoro in questo Forum.
Ogni tanto andavo a dare un'occhiata anche nella pagina http://www.maruelli.com/PRIME_STUDY.htm.
modulocomplicato ha scritto:
mar set 17, 2019 7:56 pm
Credo sia inutile fare dei commenti, se non che se la comprenderete a fondo sarà anche chiaro il motivo per cui a partire da n=3 non sono più possibilli soluzioni negli interi.
Ora è giusto riposarsi, ma quando ti sarai riposato, secondo me, qualche spiegazione in più servirebbe. Se hai già publlicato qualcosa, potresti inviarci i link, per favore?
Credo però che questo argomento sia al di sopra delle mie possibilità.
Buon riposo, per ora!
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

modulocomplicato
Livello 4
Livello 4
Messaggi: 119
Iscritto il: lun ott 01, 2012 5:30 pm

Re: La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

Messaggio da modulocomplicato »

Ciao Gianfranco,

In realtà, purtroppo, come sai una volta raggiunta la meta, cioè risolto il problema .... iniziano i guai... perchè per pubblicare serve un altro sacco di lavoro... ma dai il più è fatto...

La spiegazione è credo comprensibile a chiunque conosca un minimo di nozioni di calcolo, cioè cosa sia una derivata e come si faccia a "quadrare un'area sotto ad una curva con un integrale, o semplicemente con un rettangolo avente un'altezza media tale per cui il prodotto Base x Altezza restituisce la stessa area racchiusa sotto la curva.

Il punto di partenza è sempre la rivisitazione dell’ultimo Teorema di Fermat in forma simmetrica:

$C^n=A^n + B^n$

per la proprietà telescopica delle curve del tipo $Y=X^n$ possiamo anche scrivere:

$\sum_{1}^{C}(X^n-(X-1)^n)=\sum_{1}^{A}(X^n-(X-1)^n)+\sum_{1}^{B}(X^n-(X-1)^n)$

da cui raccogliendo A^n o B^n abbiamo:

$C^n=2 \sum_{1}^{A}(X^n-(X-1)^n)+\sum_{A+1}^{B}(X^n-(X-1)^n)$

$C^n=2 \sum_{1}^{B}(X^n-(X-1)^n)-\sum_{A+1}^{B}(X^n-(X-1)^n)$

Quindi chiamiamo:

$\Delta=\sum_{A+1}^{B}(X^n-(X-1)^n)$

Avendo usato X come indice anzichè il muto "i" è facile appendere tutto su un piano cartesiano...

Dove tracciamo la curva Y=2X^n, su cui sicuramente troveremo:

- in corrispondenza di $X=A$ l'altezza $2A^n$

- in corrispondenza di $X=B$ l'altezza $2B^n$

E per l'equazione di partenza a metà fra $2A^n$ e $2B^n$ troveremo l'altezza che ho chiamato $Y_F$ di Fermat, che sulla curva individua il punto di Fermat di coordinate (X_F,Y_F).

Ora è evidente la prima condizione: se $Y_F=C^n$ con $C\in\mathbb{N}$ allora necessariamente:

$X_F= \frac{C}{2^{1/n}}$

A questo punto la trappola è scattata.

Tracciamo la derivata di Y=2X^n (in figura per n=2)

E andiamo a vedere chi sono le due aree corrispondenti alle differenze di altezza di valore $\Delta$ distinguendo

$\Delta = \Delta+ = \Delta-$

Con semplici considerazioni sulla parità

$\Delta = \Delta+ = \Delta- = Dispari $

In particolare (dalla figura)

$\Delta+$ ha una base pari a $(\frac{C}{2^{1/n}}-A)$

e

$\Delta-$ ha una base pari a $(B - \frac{C}{2^{1/n}})$

Che se A,B,C sono interi sono sicuramente due valori irrazionali.

L'integrale fra i punti dati ci conferma che non abbiamo sbagliato nulla... ma nulla ci dice di più su chi sia in realtà $\Delta$ in quanto l'integrale non ha problemi a trattare gli irrazionali.

Ma con una semplice considerazione sappiamo anche che l'area di $\Delta+$ e $\Delta-$ sarà uguale a quella dei rettangoli aventi stesse Basi note e un certa altezza media $X_{m+}$ e $X_{m-}$

Quindi l'Altezza Media $X_{m+}$ della derivata prima di $Y=2X^n$ fra $A$ e $\frac{C}{2^{1/n}})$ deve essere tale per cui

IL PRODOTTO BASE X ALTEZZA SI RAZIONALIZZA RESTITUENDO L'INTERO DISPARI $\Delta$

La magia è fatta: per $n=2$ la derivata prima è rettilinea e l'Altezza media si trova a metà della base e produce (con opportuni A,B,C) esattamente il termine irrazionale che serve a razionalizzare il prodotto...

Quindi:

The solution of the equation: $ \Delta^+ = \Delta^- $ comes since we can also write $\Delta+$ as the rectangle having:

For $\Delta^+$

\[\tag{12} Base_{\Delta+}= \frac{C}{2^{1/2}} - A \]

and medium height equal to:

\[\tag{13} h = 2*n*X_{m+} ^{n-1} \]

\[\tag{14} X_{m+} = X_{MP+} =\left(\frac{C}{2^{1/2}} + A\right ) / 2 \]

In similar way for $\Delta^-$


And we discover is not necessary to solve the equation $\Delta+=\Delta-$, but just to check if the Area $\Delta$ defined in this way is an integer or not. We can for so write $\Delta+$ as the rectangle:

\[\tag{15} \Delta= Base* height \]

so from the (12) and (13) we immediately have:

\[\tag{16} \Delta^+= \left(\frac{C}{2^{1/2}} - A\right )* 2*n* { \left(\frac{C}{2^{1/2}} + A\right ) / 2 } \]


where we can see that the Product RAZIONALIZE the Area of $\Delta^+$


In the picture the example $A=3$, $B=4$, $C=5$ :

\[ \tag{17} \Delta^+= [(5/\sqrt2) - 3] 2*2* [(5/\sqrt2) + 3) / 2] = [(5/\sqrt2) - 3] 2* [(5/\sqrt2) + 3) ] \]


\[ \tag{17a} \Delta^+ = 25 -\frac{15}{\sqrt2} -18 + \frac{15}{\sqrt2} = 7 \]

And in the same way:

\[\tag{18} \Delta^-= \left(B - \frac{C}{2^{1/2}}\right ) * n* \left( B + \frac{C}{2^{1/2}} \right ) \]


\[\tag{18a} \Delta^-= 32 + \frac{20}{\sqrt2}- 25-\frac{20}{\sqrt2} = 7 \]

Ora, se $n=3$ il porblema è esattamente sistemato allo stesso sul piano Cartesiano, con la sola differenza che la Derivata prima di $Y=2X^n$ è $Y'=6X^2$ che è una curva.

Quindi sappiamo solo che la sua altezza media sarà un punto sulla derivata avente ordinata $Y=h_{m+}=6X_{m+}^2$

MA, fregatura, o meglio sorpresa...

La base questa volta è:

$\Delta+$ ha una base pari a $(\frac{C}{2^{1/3}}-A)$

e

$\Delta-$ ha una base pari a $(B - \frac{C}{2^{1/3}})$

E QUINDI AVENDO A DISPOSIZIONE SOLO UN ALTRO TERMINE PER RAZIONALIZZARE

ED ESSENDO QUESTO UN BINOMIO DIPENDENTE DAL QUADRATO

NON E' POSSIBILE CHE POSSA RAZIONALIZZARE IL PRIMO TERMINE A CAUSA DEI PRODOTTI MISTI GENERATI DURANTE LO SVILUPPO DEL QUADRATO DEL BINOMIO...

More in general we can write:

\[ \Delta+ = \Delta- \in\mathbb{N^+} = Odd \]

with:

\[ \left(\left(\frac{C}{2^{1/n}}\right) - A\right) * 2 n *X_{m+}^{n-1} =\Delta+ \]


And:

\[ \left(B- \left(\frac{C}{2^{1/n}}\right) \right) * 2 n *X_{m-}^{n-1} =\Delta- \]

Quindi all'equazione:

\[ \left(\left(\frac{C}{2^{1/n}}\right) - A\right) * 2 n *X_{m+}^{n-1} = \left(B- \left(\frac{C}{2^{1/n}}\right) \right) * 2 n *X_{m-}^{n-1} \]

per n>2 succederà sempre che spariscono i termini $(2C^n-2A^n-2B^n)$ e resteranno da ambo i lati prodotti misti con coefficienti irrazionali di vario grado,

QUINDI NON RAZONALIZZABILI

E se proprio ancora volessimo cavillare sostituiamo ad esempio X a C e grazie al noto teorema chiudiamo la dimostrazione...

Semplicemente meravigliosa... sepolta sotto tutto quello che Fermat ci ha insegnato...

modulocomplicato
Livello 4
Livello 4
Messaggi: 119
Iscritto il: lun ott 01, 2012 5:30 pm

Re: La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

Messaggio da modulocomplicato »

Speravo in qualche commento... pazienza...

La soluzione finale richiede ancora un paio di forumulette se a qualcuno interessano vedrò di completare il post,

Grazie
Ciao !

Bruno
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1536
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

Messaggio da Bruno »

Stefano, buon pomeriggio.

Sto leggendo, fra gruppi di fb e forum, parecchi tuoi interventi su questo tuo studio, si vede che l'argomento ti sta a cuore.

Hai provato a scrivere a qualche rivista matematica? O a creare un articolo per arxiv o simili siti?
Così magari inserisci il link al documento completo e ognuno si muove come riesce.

Frammentare l'esposizione di un argomento (o ritagliarne alcune parti) può non agevolarne la comprensione, secondo me.

Inoltre, per raggiungere il cuore di certe trattazioni serve tempo, a volte molto tempo.

Buon lavoro.
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

modulocomplicato
Livello 4
Livello 4
Messaggi: 119
Iscritto il: lun ott 01, 2012 5:30 pm

Re: La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

Messaggio da modulocomplicato »

Ciao,

Arxiv chiede l'endorsement, sto stalkerando alcuni amici prof. del Politecnico di Torino...

Come puoi immaginare credere che il signor nessuno possa aver risolto una grana così grossa... è dura... Vedrem... Intanto rilleggo, correggo e studio...

Quì sotto la conclusione corretta per n=3:

Immagine

Immagine

Immagine

Immagine

Now we have just to see if the equality:

\[\tag{30} X_{m+} = X_{m,F} \]

will hold, or not. To be short, keeping the equation already written:

\[\tag{31} 3X_{m+}^2 = 3X_{m,F}^2 \]

\[\tag{31a} \frac{C^2+2^{1/3}AC+2^{2/3}A^2 }{2^{2/3}} =? {2^{1/3}}(C^2+2^{2/3}A^2+2^{1/3}AC) \]

\[\tag{31b} \frac{C^2+2^{1/3}AC+2^{2/3}A^2 }{2^{2/3}} ={2^{1/3}}C^2+2A^2+2^{2/3}AC) \]

\[\tag{31c} C^2+{2^{1/3}}AC+A^2 =? {2}C^2+2^{5/3}A^2+2^{4/3}AC \]

\[\tag{31d} -C^2 =? A^2(2^{5/3}- 1) +2AC \]

That is clearly FALSE for any $C>A>0$ so Fermat is Right, since for higher $n$ the curved derivate will continue to produce the same result: $X_{m+} \neq X_{m,F} $

In the same way one can perform the check on $\Delta-$.

We finally note that on a numerical example we can see that:

\[ \frac{7} {2^{1/3}} > X_{F,(A=5,B=6)} \]

so that $\frac{C}{2^{1/n}}$ is too big to satisfy FLT equation from $n=3$.

Se qulcuno ha voglia di controllare...

Thanks
Ciao
Stefano

Gaetano
Nuovo utente
Nuovo utente
Messaggi: 2
Iscritto il: lun dic 09, 2019 7:22 pm

Re: La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

Messaggio da Gaetano »

Non sono un matematico ma da sempre le terne pitagoriche mi hanno affascinato per cui navigando in rete era impossibile non imbattersi con l'ultimo teorema di Fermat e mi sono chiesto anch'io perché è stato così difficile da dimostrare Sono giunto alla conclusione che la soluzione doveva essere così semplice da non vederla.

La mia soluzione

Un quadrato può essere scritto come somma di una serie di numeri dispari il numero delle cifre che la compongono è uguale alla base.
Un cubo è uguale alla somma di n serie dispari, il numero delle cifre è uguale al quadrato della base

Es:
Il quadrato di 5 è 1,3,5,7,9 5 cifre
Il cubo è
1,3,5,7,9
1,3,5,7,9
1,3,5,7,9
1,3,5,7,9
1,3,5,7,9 25 cifre
Abbiamo scritto il valore di un cubo all'interno di un quadrato.
Salta subito all'occhio che è impossibile trovare due cubi scritti nella stessa forma (all'interno di 2 quadrati) la cui somma sia un cubo in quanto tornando all'esempio, gli unici quadrati che per il teorema di Pitagora si possono sommare sono 3 e 4 che elevati al cubo danno un risultato inferiore.
Ciao

modulocomplicato
Livello 4
Livello 4
Messaggi: 119
Iscritto il: lun ott 01, 2012 5:30 pm

Re: La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

Messaggio da modulocomplicato »

Non pago delle precedenti conclusioni, ho completato lo studio spingendomi oltre... E questa è davvero l'equazione definitiva, in quanto consente di vedere esattamente dove sta il problema...

Fertma the Last for n=3:

Starting to show why $n=3$ is the most simple non solvable case:

\[ A^3=? C^3-B^3 \]

Can be written with my Sum, so MCMA as:

\[ A^3= \sum_{X=1}^{A} (3X^2-3X+1) =? \sum_{X=1}^{C} (3X^2-3X+1) - \sum_{X=1}^{B} (3X^2-3X+1) \]
\vspace{3pt}

But, as shown in my Vol.1, must also be true (using the Linearization, see Vol.1):

\[ A*\sum_{X=1}^{A} (2X-1) =? C*\sum_{1}^{C} (2X-1) - B*\sum_{1}^{B} (2X-1)\]

\[ A^2 =? \frac{C}{A}*\sum_{1}^{C} (2X-1) - \frac{B}{A}*\sum_{1}^{B} (2X-1)\]

that using the Irrational Step Sum, so taking $x=X*\sqrt{\frac{C}{A}}$ for the first Sum and $x=X*\sqrt{\frac{B}{A}}$ for the second one, lead to the Impossible Irrational Gear Coupling:


\[ A^2 =? \sum_{{\sqrt{\frac{C}{A}}}}^{C*\sqrt{\frac{C}{A}}} \left(2x\sqrt{\frac{C}{A}}-\frac{C}{A}\right)- \sum_{{\sqrt{\frac{B}{A}}}}^{B*\sqrt{\frac{B}{A}}} \left(2x\sqrt{\frac{B}{A}}-\frac{B}{A}\right) \]

%\[ A^2 =? \sum_{\frac{1}{\sqrt{\frac{C}{A}}}}^{C*\sqrt{\frac{C}{A}}} \left(\frac{2x}{\sqrt{\frac{C}{A}}}-\frac{1}{\frac{C}{A}}\right) -\sum_{\frac{1}{\sqrt{\frac{B}{A}}}}^{B*\sqrt{\frac{B}{A}}} \left(\frac{2x}{\sqrt{\frac{B}{A}}}-\frac{1}{\frac{B}{A}}\right)\]


Since the two terms of the Sums share No Common Divisor, nor The Same or a Proportional Complicate Irrational Modulus, then there is no way to subtract term by term one from the other, since Both Terms and Index behave linearly, while $ {\sqrt{\frac{C}{A}}}$ and ${\sqrt{\frac{B}{A}}}$ behave NON Linearly, so the only possible solution is to perform an integral, not a Sum.


The power of MCMA is that you can linearize any Power $n>2$, changing just limits as shown in my Vol.1 and arrive to the same conclusion since the ratio between the different Steps is always Irrational.

Here some example of Irrationals Step Sum in case A=5, B=6, C=7

First case of FLT equation for B^3/A vis Step sqrt(6/5): we rise an integer at the 5th step since is 0 mod A, not 0 mod B !

B^3 = 216

B^3/A= 216/5=43.2

------X----x=sqrt(6/5)*X---2x*sqrt(p/K)-(p/K)----Sum
-------1-----1,095445115--------1,2-----------------1,2
-------2-----2,19089023----------3,6----------------4,8
-------3-----3,286335345---------6-----------------10,8
-------4-----4,38178046----------8,4---------------19,2
-------5-----5,477225575-------10,8---------------30
-------6-----6,57267069---------13,2--------------43,2

Of course we can also use sqrt(7/5) as step to rise C^3/A, and is of course 0 mod A.

C^3 = 343
C^3/A= 343/5=68.6
------X-----x=sqrt(7/5)*X 2x*sqrt(p/K)-(p/K) Sum
-------1-----1,183215957--------1,4---------1,4
-------2-----2,366431913--------4,2---------5,6
-------3-----3,54964787----------7---------12,6
-------4-----4,732863826--------9,8--------22,4
-------5-----5,916079783-------12,6--------35
-------6-----7,09929574--------15,4--------50,4
-------7-----8,282511696-------18,2--------68,6

Checking B^3/A mod sqrt(C/A) again we have no integer at the end (because is 0 mod A again and we go till B...)

same Step= sqrt(C/A)

B^3 = 216 X
B^3/A= 216/5=43.2
-----X--x=sqrt(7/5)*X --2x*sqrt(p/K)-(p/K)--Sum
-----1-----1,183215957--------1,4--------------1,4
-----2-----2,366431913--------4,2--------------5,6
-----3-----3,54964787------ ---7--------------12,6
-----4-----4,732863826--------9,8-------------22,4
-----5-----5,916079783------12,6--------------35--------*6/7= B^3/A
-----6-----7,09929574--------15,4-------------50,4--------43,2


And here the proof: there are only 2 ways we can try to let the Sum (so the gear) represent $B^3$ be Compatible(*) with the Sum (so the other gear) represent $C^3$, or vice versa and both fails since:

if we try to let Index moves of the same Step for example $\sqrt{\frac{C}{A}}$, adjusting terms as follows, to let the result be unchanged, we also have the Same Modulus, but we rest with an External Rational Factor:

\[ A^2 =? \sum_{x={\sqrt{\frac{C}{A}}}}^{C*\sqrt{\frac{C}{A}}} \left(2x\sqrt{\frac{C}{A}}-\frac{C}{A}\right)- \left( \frac{C}{B}\right) *\left( \frac{B}{C}\right) *\sum_{x={\sqrt{\frac{B}{A}}}}^{B*\sqrt{\frac{B}{A}}} \left(2x\sqrt{\frac{B}{A}}-\frac{B}{A}\right) \]



taking one factor into the Index and the other into the Term (since both behave linearly) we have:


\[ A^2 =? \sum_{x={\sqrt{\frac{C}{A}}}}^{C*\sqrt{\frac{C}{A}}} \left(2x\sqrt{\frac{C}{A}}-\frac{C}{A}\right) -\left( \frac{B}{C}\right) *\sum_{\sqrt{\frac{B}{A}}*{\sqrt{\frac{C}{B}}}}^{B*\sqrt{\frac{B}{A}} *\sqrt{\frac{C}{B}}} \left(2x\sqrt{\frac{B}{A}}*\sqrt{\frac{C}{B}}-\frac{B}{A}*\frac{C}{B}\right) \]


Finally we have same Step, Same Modulus, but the second Sum is multiplied by a Non Vanishing Rational Factor $B/C$:

\[ \tag{0a} A^2 =? \sum_{{x=\sqrt{\frac{C}{A}}}}^{C*\sqrt{\frac{C}{A}}} \left(2x\sqrt{\frac{C}{A}}-\frac{C}{A}\right) -\left( \frac{B}{C}\right) *\sum_{{x=\sqrt{\frac{C}{A}}}}^{B*\sqrt{\frac{C}{A}}} \left(2x\sqrt{\frac{C}{A}}-\frac{C}{A}\right) \]

\vspace{3pt}

\large
b) of course the same happens if we try to adapt the first Sum to the Second.

The point is now shown:

- We know the way to write $A^2$ (that we fix it is one of the two integers with $C$) as an Irrational Step Sum, having Step $=\sqrt{\frac{A}{C}}$

so we know also that this Sum must be exactly the same we will find as result of FLT's right hand, rewritten as $\frac{C^n}{A}-\frac{B^n}{A}$


it means it must have same Limits an the same Modulus, or there must be a way to prove that we can transform by stretching so we are able to adjust limits and terms to be exactly the same.


BUT if we take a Look to the equation we are now able to see that:

\[ \tag{1} \sum_{{\sqrt{\frac{C}{A}}}}^{C*\sqrt{\frac{C}{A}}} \left(2x\sqrt{\frac{C}{A}}-\frac{C}{A}\right) \]

IS an INTEGER, IFF $C,A$ ARE INTEGERS

\[ \tag{2} \left( \frac{B}{C}\right)\]

IS A RATIONAL non INTEGER, IFF $B<C$ ARE INTEGERS, (coprime under FLT conditions), while:


\[\tag{3} \sum_{{\sqrt{\frac{C}{A}}}}^{B*\sqrt{\frac{C}{A}}} \left(2x\sqrt{\frac{C}{A}}-\frac{C}{A}\right) \]

Is a Rational since it is an Incomplete Sum of Irrationals, having Step =$\sqrt{C/A}$ and Upper Limit ${B*\sqrt{\frac{C}{A}}}$ that is Bigger than

So the product (eq.2) x (eq.3) :

\[ \left( \frac{B}{C}\right) *\sum_{{\sqrt{\frac{C}{A}}}}^{B*\sqrt{\frac{C}{A}}} \left(2x\sqrt{\frac{C}{A}}-\frac{C}{A}\right) \]

it is not the one let the result be an Integer because of the 2th degree relation between $B$ and $\sqrt{C/A}$ in the Upper Limit. So the only way to get an Integer Result (not asking here to be also a Power of an Integer !) is that $C/A$ and $C/B$ are integers too.
\vspace{8pt}


Here a table to Show what Happen in the case $A=5$, $B=6$, $C=7$, $n=3$.


After $B=6$ Step the result of the Sum (3) is $50,4$, that for the reason we built it, gives an Integer if we multiply it by the square of the Inverse of our step is $\sqrt{\frac{A}{C}}$, so in this case $\frac{5}{7}$.


Of course if the External Rational Factor (2) is different, in this case equal to $\frac{B}{C}=\frac{6}{7}$,



we cannot rise an integer Value it is necessary to Let the Result of the whole FLT Right Hand, be an Integer (no
r the Integer $A^2$):

X---x=X*RADQ(7/5)---M2L,K----SUM-----SUM* A/C ----SUM* B/C
1-------1,183215957-------1,4-------1,4 ---------1-------1,2
2-------2,366431913-------4,2-------5,6 ---------4-------4,8
3-------3,54964787---- ---7---------12,6--------9-------10,8
4-------4,732863826-------9,8-------22,4-------16-------19,2
5-------5,916079783-------12,6------35---------25-------30
6-------7,09929574--------15,4-------50,4------36-------43,2
7-------8,282511696-------18,2-------68,6------49-------58,8

While if we introduce the right external correction facto A/C (instead of B/C) we get all integers...


For Even Powers the simple proof is already know, but of course you can try to use this new technique to prove it in similar way.

{q.e.d.}

Ciao
Stefano

Rispondi