BASE CINQUE FORUM

I numeri seguenti:

10, 12, 15, 21, 23, 26, 32, 34, 37, 40, 43, 45, 48, 51, 54, 56, 59

sono gli iniziali diciassette termini di una sequenza che ne contiene ventinove.

Essi rispondono a una proprietà che li seleziona fra i primi mille numeri naturali.

Quali sono i successivi membri?

Un po' dura !

Bruno ha scritto: ↑

lun ago 26, 2019 3:31 pm

Essi rispondono a una proprietà che li seleziona fra i primi mille numeri naturali.

Confermi che sono proprio i primi "mille"?

Bruno, abbiamo bisogno di un "aiutino".
"diciassette", "diciannove", "mille", scritti in lettere anziché in cifre, possono aiutarci?
Oppure?

Pasquale ha scritto: ↑

ven ago 30, 2019 2:41 am

Un po' dura !

È così, avete ragione

Provate a vedere cosa succede quando sottraete a questi numeri quelli ottenuti disponendo le cifre nell'ordine inverso.

con l'aiuto diventa facilissimo. stupisce che, con tre cifre, le cose diventino così più rare.

Io ne ho trovati solo 28 e nessuno con tre cifre.
Ho la sensazione di non aver capito.
C'entra il risultato della divisione per 9?

Gianfranco ha scritto: ↑

gio set 05, 2019 12:33 pm

Io ne ho trovati solo 28 e nessuno con tre cifre.

Ne manca uno, secondo me, ma credo che la strada sia giusta (da due cifre si passa a quattro).

I neuroni mi stanno abbandonando...
Ecco i risultati che ho trovato, con la mia interpretazione.
La logica è che la differenza divisa per 9 deve dare 1 oppure 4, in valore assoluto.
La faccina al numero 8 la mette il computer.
1) 10
2) 12
3) 15
4) 21
5) 23
6) 26
7) 32
34
9) 37
10) 40
11) 43
12) 45
13) 48
14) 51
15) 54
16) 56
17) 59
18) 62
19) 65
20) 67
21) 73
22) 76
23) 78
24) 84
25) 87
26) 89
27) 95
28) 98

Ah, adesso ho capito

I numeri che hai elencato e 90 rispondono alla proprietà che la differenza in questione sia un quadrato, escludendo però gli ovvi palindromi

(Gianfranco, i tuoi neuroni sono vigili e svelti come gatti, se mi permetti.)

Con una semplice ma simpatica manipolazione sui valori ottenuti, inoltre, si possono generare infiniti interi con la stessa caratteristica.

Bruno ha scritto: ↑

gio set 05, 2019 5:40 pm

Con una semplice ma simpatica manipolazione sui valori ottenuti, inoltre, si possono generare infiniti interi con la stessa caratteristica.

Grazie Bruno per la spiegazione.
Avevo la soluzione davanti agli occhi e non l'ho capita.
Inutile dividere le differenze per 9. Ho scelto di dividere per 9 perchè TUTTI i numeri ottenuti con quella procedura sono divisibili per 9, perciò, dividendo per 9 si elimina quella proprietà comune e speravo di trovarne una più "profonda".

Per il resto, è questa la manipolazione simpatica?
1) Prendo un numero di due cifre appartenente alla sequenza, per esempio: 23.
2) Duplico la cifra delle decine e quella delle unità: 2233.
3) Triplico: 222333.
4) e così via.
Tutti i numeri così ottenuti hanno la proprietà data.

Per dimostrarlo, parto dal caso delle 2 cifre.

Se $10a+b-10b-a$ è un quadrato allora anche $1000a+100a+10b+b-1000b-100b-10a-a$ è un quadrato.
Dimostrazione.
1) $10a+b-10b-a=9(a-b)$ è un quadrato per ipotesi, perciò $(a-b)$ è un quadrato.
2) $1000a+100a+10b+b-1000b-100b-10a-a=1089(a-b)=33^2(a-b)$ è un quadrato perché prodotto di due quadrati.

Per generalizzare il teorema, osservo che, con $n$ dispari:
$k^n+k^{(n-1)}+k^{(n-2)}+...-k^2-k-1=(k-1)P^2$
dove $P^2$ è un polinomio in $k$ quadrato o un prodotto di quadrati (qui ci vorrebbe qualche passaggio in più).

Se $k=10$, allora l'espressione diventa:
$9P^2$
che è un quadrato.

Qui ci vorrebbe qualche passaggio di collegamento, in sintesi:
$|aaa...bbb-bbb...aaa|=9P^2(a-b)$
Però, il 9 qui è fondamentale per concludere.

Ah, dimenticavo: le differenze vanno prese in valore assoluto.
Esempio:$
23 ->|23-32|= 9 = 3^2$

P.S. Chiedo scusa per la notazione traballante.

Gianfranco ha scritto: ↑

gio set 05, 2019 10:01 pm

Per il resto, è questa la manipolazione simpatica?
1) Prendo un numero di due cifre appartenente alla sequenza, per esempio: 23.
2) Duplico la cifra delle decine e quella delle unità: 2233.
3) Triplico: 222333.
4) e così via.
Tutti i numeri così ottenuti hanno la proprietà data.

Touché

Volendo, Gianfranco, potremmo anche nidificare le cifre.

Infatti, consideriamo 26.

Abbiamo visto che manteniamo la proprietà se scriviamo 2266, 222666, 22226666, ...

Facendo caso a una certa caratteristica e generalizzando un pochino la questione, potremmo anche associare 26 (2<6, 6-2 = 4) a 59 (5<9, 9-5 = 4), giusto per fare un esempio, nel seguente modo:
2596, 255996, 25559996, 2555599996, ...

oppure a 37 (3<7, 7-3 = 4), ottenendo:
2376, 233776, 23337776, 2333377776, ...

o addirittura:
232676, 23259676, 2325379676, 323253796767, 53232537967679, ...

Bello e anche raffinato! (ci vorrebbe la faccina WOW!)