La tartaruga controintuitiva

[sixam]

Una tartaruga sta percorrendo una pista di atletica. Dopo aver completato il primo giro (a velocità costante) alla sua velocità, per accorciare i tempi estrae dal suo cappello a cilindro (tutte le tartarughe indossano notoriamente un cappello a cilindro) una Ducati 999, monta in sella e percorre a manetta il secondo giro di pista. A che velocità dovrà fare il secondo giro per far si che la velocità media dei 2 giri sia il doppio della velocità del primo giro?

P.S. Recuperato dal NG it.scienza.matematica

[Gianfranco]

299 792 458 m/s

[sixam]

299 792 458 m/s

Buona velocità, ma è ancora troppo lenta....

[Gianfranco]

E' la velocità della luce, il tempo si ferma, almeno dal punto di vista della tartaruga.
Per quel che riguarda un osservatore esterno... dipende dalla lunghezza della pista.
Ma l'approssimazione dovrebbe essere accettabile.

[delfo52]

il trucco sta nel fare l'esperimento in una certa ora, in una certa notte d'autunno. Quando si torna all'ora solare.

[sixam]

il trucco sta nel fare l'esperimento in una certa ora, in una certa notte d'autunno. Quando si torna all'ora solare.

[Gianfranco]

Enrico, sempre ingegnoso!
In pratica il secondo giro deve essere fatto in un tempo nullo.

Vorrei proporre un'altra soluzione.
La tartaruga, con il Galletto Guzzi, percorre la pista a zig-zag in modo da aumentarne leggermente la lunghezza.
Se per esempio aumenta la lunghezza del percorso del 10%, basta che lo percorra in 1/20 del tempo fatto nel primo giro per raddoppiare la velocità media.
Salvo errori & omissioni.

[panurgo]

Ottimo esempio di pensiero laterale: il nostro modello di pista è una circonferenza, il nostro modello di tartaruga è un punto.
Ma una pista ha più corsie, più corte quelle interne, più lunghe quelle esterne, quindi il modello è inadeguato. Se sono possibili lunghezze diverse abbiamo

$\begin{array}{lC}
\displaystyle v_1 = \frac{l_1}{t_1} \\
\displaystyle v_2 = \frac{l_2}{t_2} \\
\displaystyle v_m = \frac{l_1 + l_2}{t_1 + t_2}
\end{array}
$

La condizione posta dal problema diventa

$\displaystyle \frac{l_1 + l_2}{t_1 + t_2}= \frac{2l_1}{t_1}$

e, posto $l_2=\left(1+\epsilon\right)l_1$, si ottiene facilmente

$\displaystyle v_2=2\frac{1+\epsilon}\epsilon v_1$

con $\epsilon>0$. Il modello inadeguato comporta che sia $l_2=l_1$ (cioè $\epsilon=0$) e la condizione diventa

$\displaystyle \frac{2}{t_1 + t_2}= \frac{2}{t_1}$

che è vera solo per $t_2=0$, non tenendo conto degli effetti relativistici: a questo proposito osservo che si tratterebbe di un moto circolare uniforme ad una velocità prossima a quella della luce e temo che gli effetti dovuti all'accelerazione centripeta potrebbero essere sgradevoli per la nostra tartaruga/centauro...

[Gianfranco]

...temo che gli effetti dovuti all'accelerazione centripeta potrebbero essere sgradevoli per la nostra tartaruga/centauro...

Grazie Panurgo, perfetto.
Tra l'altro hai anche fornito una dimostrazione del perché la luce si propaga in linea retta: perché non sopporterebbe la forza centripeta necessaria a farla curvare!