Buongiorno, sono di nuovo qui. Approfitto ancora della cortesia di questo forum finché qualcuno non mi butterà fuori a calci. In questi giorni sto leggendo l’articolo (bellissimo!) “Il significato probabilistico di concetti di algebra” di Mauro Cerasoli.
Ebbene:
•se “a” appartiene al segmento [0,1] allora “a” coincide con la probabilità di prendere un punto random in [0,1] che sia anche in [0,a);
•se “a”, “b” appartengono al segmento [0,1] allora a*b coincide con la prob. di prendere due punti random in [0,1] tali che siano uno in [0,a) e l’altro in [0,b), oppure a*b coincide con la prob. di prendere un punto random nel quadrato [0,1]^2 tale che sia anche nel rettangolo [0,a)*[0,b);
•se “a”, “b”, “c” appartengono al segmento [0,1] allora a*b*c coincide con ……(discorso analogo al precedente);
•se “a” appartiene al segmento [0,1] allora a^n (n naturale) coincide con ….. (discorso analogo al precedente).
Ebbene, fin qui è tutto chiarissimo.
L’autore ora propone un esercizio:
trovare una spiegazione probabilistica della classica identità
1+x+x^2+…..+x^(n-1) = (1-x^n)/(1-x) (con 0<x<1)
Questo esercizio è tratto da “Esempi di dimostrazioni probabilistiche”, Lettera Pristem, 29 (1998) 38-43
Mi piacerebbe conoscere la soluzione dell’esercizio proposto.
Ancora una cosa: qualcuno di voi ha per caso il fascicolo di Lettera Pristem nominato?
Mille grazie e un caro saluto
roberta
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Ecco, io la vedo così: sia $0 < x < 1$.
Scegliendo n numeri reali a caso in [0,1], la probabilità che stiano tutti in [0,x] è $x^n$. Equivalentemente, la probabilità che un dato punto di [0,1]^n stia in $[0,x]^n$ è $x^n$. Quindi la probabilità che un dato punto di $[0,1]^n$ non stia in $[0,x]^n$ è $1-x^n$. Ma tale è anche la probabilità che uno degli n numeri scelti stia fuori da [0,x], infatti $p \not \in [0,x]^n$ se e solo se esiste $i \in \{1,...,n\}$ tale che $p_i \not \in [0,x]$. Quindi, indicando con "f(i)" la proprietà del punto p di avere la componente "i" fuori da [0,x], si ha
$1-x^n=P(f(1) \cup f(2) \cup ... \cup f(n))$
Volendo avere additività, dovremo costruire un'unione disgiunta a partire da (leggi: che coincida con) $f(1) \cup ... \cup f(n)$. Faremo così:
$1-x^n=P(f(1) \cup f(2) \cup ... \cup f(n))=P(f(1) \cup (f(2)-f(1)) \cup ((f(3)-f(2))-f(1)) \cup ... \cup (f(n)-f(n-1)-f(n-2)-...-f(1))) =$
$=P(f(1) \cup (f(2) & d(1)) \cup (f(3) & d(2) & d(1)) \cup ... \cup (f(n) & d(n-1) & d(n-2) & ... & d(1)))$
dove d(i) significa che $p_i \in [0,x]$, il & ha funzione di "and" (intersezione di eventi) e il "-" ha funzione di differenza di eventi (per esempio f(2)-f(1) significa che $d_2 \not \in [0,x]$ e $d_1 \in [0,x]$).
Tale ultima unione è disgiunta e possiamo applicare l'additività:
$P(f(1) \cup (f(2) & d(1)) \cup (f(3) & d(2) & d(1)) \cup ... \cup (f(n) & d(n-1) & d(n-2) & ... & d(1))) =$
$= P(f(1)) + P(f(2) & d(1)) + P(f(3) & d(2) & d(1)) + ... + P(f(n) & d(n-1) & d(n-2) & ... & d(1)) =$
$= (1-x) + (1-x)x + (1-x)x \cdot x + ... + (1-x)x \cdot ... \cdot x = (1-x)(1+x+...+x^{n-1})$
Si intende che f(i), f(j) sono indipendenti quando $i \neq j$, e che se A e B sono eventi indipendenti allora $P(A \cap B)=P(A)P(B)$. Inoltre $A-B=A \cap B^c$, dove $B^c$ è il complementare (l'evento "opposto") di B. Naturalmente $f(i)^c=d(i)$.
Salvo errori ed omissioni...
Scegliendo n numeri reali a caso in [0,1], la probabilità che stiano tutti in [0,x] è $x^n$. Equivalentemente, la probabilità che un dato punto di [0,1]^n stia in $[0,x]^n$ è $x^n$. Quindi la probabilità che un dato punto di $[0,1]^n$ non stia in $[0,x]^n$ è $1-x^n$. Ma tale è anche la probabilità che uno degli n numeri scelti stia fuori da [0,x], infatti $p \not \in [0,x]^n$ se e solo se esiste $i \in \{1,...,n\}$ tale che $p_i \not \in [0,x]$. Quindi, indicando con "f(i)" la proprietà del punto p di avere la componente "i" fuori da [0,x], si ha
$1-x^n=P(f(1) \cup f(2) \cup ... \cup f(n))$
Volendo avere additività, dovremo costruire un'unione disgiunta a partire da (leggi: che coincida con) $f(1) \cup ... \cup f(n)$. Faremo così:
$1-x^n=P(f(1) \cup f(2) \cup ... \cup f(n))=P(f(1) \cup (f(2)-f(1)) \cup ((f(3)-f(2))-f(1)) \cup ... \cup (f(n)-f(n-1)-f(n-2)-...-f(1))) =$
$=P(f(1) \cup (f(2) & d(1)) \cup (f(3) & d(2) & d(1)) \cup ... \cup (f(n) & d(n-1) & d(n-2) & ... & d(1)))$
dove d(i) significa che $p_i \in [0,x]$, il & ha funzione di "and" (intersezione di eventi) e il "-" ha funzione di differenza di eventi (per esempio f(2)-f(1) significa che $d_2 \not \in [0,x]$ e $d_1 \in [0,x]$).
Tale ultima unione è disgiunta e possiamo applicare l'additività:
$P(f(1) \cup (f(2) & d(1)) \cup (f(3) & d(2) & d(1)) \cup ... \cup (f(n) & d(n-1) & d(n-2) & ... & d(1))) =$
$= P(f(1)) + P(f(2) & d(1)) + P(f(3) & d(2) & d(1)) + ... + P(f(n) & d(n-1) & d(n-2) & ... & d(1)) =$
$= (1-x) + (1-x)x + (1-x)x \cdot x + ... + (1-x)x \cdot ... \cdot x = (1-x)(1+x+...+x^{n-1})$
Si intende che f(i), f(j) sono indipendenti quando $i \neq j$, e che se A e B sono eventi indipendenti allora $P(A \cap B)=P(A)P(B)$. Inoltre $A-B=A \cap B^c$, dove $B^c$ è il complementare (l'evento "opposto") di B. Naturalmente $f(i)^c=d(i)$.
Salvo errori ed omissioni...
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
PERFETTO! ti ho seguito in tutti i passaggi. GRAZIE MILLE.
Un chiarimento: hai scritto P(A intersecato con B) = P(A)*P(B) se A e B sono eventi indipendenti; ma non devono essere anche compatibili tra loro? cioè con intersezione non nulla? Ti chiedo questo chiarimento perchè ho accantonato da tempo la teoria della prob.
Grazie ancora
roberta
Un chiarimento: hai scritto P(A intersecato con B) = P(A)*P(B) se A e B sono eventi indipendenti; ma non devono essere anche compatibili tra loro? cioè con intersezione non nulla? Ti chiedo questo chiarimento perchè ho accantonato da tempo la teoria della prob.
Grazie ancora
roberta
Non vedo perché, dato che (intuitivamente) per due eventi non vuoti avere intersezione vuota significa essere "patologicamente dipendenti" 
.. Sempre dal punto di vista intuitivo, se A e B hanno intersezione vuota allora il verificarsi di A implica il non verificarsi di B, e viceversa; questa implicazione reciproca si traduce in "assoluta" dipendenza.
Dal punto di vista formale, sui miei vecchi appunti di probabilità la definizione di indipendenza è semplicemente:
Due eventi A e B si dicono indipendenti se $P(A \cap B)=P(A)P(B)$.
Ciao!
.. Sempre dal punto di vista intuitivo, se A e B hanno intersezione vuota allora il verificarsi di A implica il non verificarsi di B, e viceversa; questa implicazione reciproca si traduce in "assoluta" dipendenza.Dal punto di vista formale, sui miei vecchi appunti di probabilità la definizione di indipendenza è semplicemente:
Due eventi A e B si dicono indipendenti se $P(A \cap B)=P(A)P(B)$.
Ciao!
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Scusa, ma non ho capito.
Due eventi sono indipendenti quando il verificarsi di uno non altera la probabilità del verificarsi dell'altro.
Esempio---> nel lancio di un dado equo considero i seguenti eventi :
A=esce un numero pari
B=esce un numero dispari
Ebbene A e B sono eventi chiaramente indipendenti.
Ma p(A inters. B) p(A)*p(B)
Questo perchè A e B sono anche eventi incompatibili tra loro.
Quindi io direi che P(A int. B) = p(A)*p(B) se A e B sono eventi indipendenti ma anche compatibili tra loro.
E' proprio sbagliato il mio ragionamento?
Qual è la definizione esatta di eventi indipendenti? Se è la tua allora l'articolo di Cerasoli va a gambe all'aria!!
Cercherò di approfondire la cosa
Grazie
roberta
Due eventi sono indipendenti quando il verificarsi di uno non altera la probabilità del verificarsi dell'altro.
Esempio---> nel lancio di un dado equo considero i seguenti eventi :
A=esce un numero pari
B=esce un numero dispari
Ebbene A e B sono eventi chiaramente indipendenti.
Ma p(A inters. B) p(A)*p(B)
Questo perchè A e B sono anche eventi incompatibili tra loro.
Quindi io direi che P(A int. B) = p(A)*p(B) se A e B sono eventi indipendenti ma anche compatibili tra loro.
E' proprio sbagliato il mio ragionamento?
Qual è la definizione esatta di eventi indipendenti? Se è la tua allora l'articolo di Cerasoli va a gambe all'aria!!
Cercherò di approfondire la cosa
Grazie
roberta
No no aspetta, forse ci capiamo male
Se stiamo parlando di due lanci distinti allora A e B vengono ad avere intersezione non vuota: tale intersezione infatti contiene (anzi, consiste di) tutti i doppi lanci in cui il primo lancio produce un numero pari, il secondo uno dispari.
In altre parole, se A e B sono eventi disgiunti e non vuoti allora P(A|B)=0=P(B|A), quindi A e B sono indipendenti se e solo se uno dei due ha probabilita' nulla di verificarsi.
Spero di non mettere in dubbio nessuna teoria con questa mia opinione
Ciao.
In questo caso il verificarsi di A altera eccome la probabilita' del verificarsi di B, poiche' se esce pari non puo' uscire dispari (e' uscito pari!): stiamo parlando dello stesso lancio (vero?). Quindi A e B sono dipendenti.roberta ha scritto:Scusa, ma non ho capito.
Due eventi sono indipendenti quando il verificarsi di uno non altera la probabilità del verificarsi dell'altro.
Esempio---> nel lancio di un dado equo considero i seguenti eventi :
A=esce un numero pari
B=esce un numero dispari
Ebbene A e B sono eventi chiaramente indipendenti.
Se stiamo parlando di due lanci distinti allora A e B vengono ad avere intersezione non vuota: tale intersezione infatti contiene (anzi, consiste di) tutti i doppi lanci in cui il primo lancio produce un numero pari, il secondo uno dispari.
In altre parole, se A e B sono eventi disgiunti e non vuoti allora P(A|B)=0=P(B|A), quindi A e B sono indipendenti se e solo se uno dei due ha probabilita' nulla di verificarsi.
Spero di non mettere in dubbio nessuna teoria con questa mia opinione
Ciao."Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
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A proposito: non è sempre vero che, per un dado equo, P (pari) = P (dispari) 
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Ci sono (forse ... abbiate pazienza): per te, Tino, due eventi indipendenti incompatibili (cioè con intersezione nulla) sono eventi dipendenti (cioè il verificarsi di uno eclude il verificarsi dell'altro); due eventi indipendenti compatibili (cioè con int. non nulla) sono eventi indipendenti (e stop)
Sono un pochino confusa perchè nell'articolo di Mauro Cerasoli c'è proprio la distinzione tra eventi ind. comp. ed eventi ind. incomp.
Ho capito o sono ancora lontana, lontana, .....
Per Panurgo: VERO
Grazie
roberta
Sono un pochino confusa perchè nell'articolo di Mauro Cerasoli c'è proprio la distinzione tra eventi ind. comp. ed eventi ind. incomp.
Ho capito o sono ancora lontana, lontana, .....
Per Panurgo: VERO
Grazie
roberta
Se e solo se entrambi hanno probabilità non nulla.roberta ha scritto:Se due eventi sono disgiunti (incompatibili) allora sono necessariamente dipendenti?
Non direi esattamente così. Innanzitutto due eventi A e B sono dipendenti quando non sono indipendenti, ovvero quando non è vero che P(A|B)=P(A) (e non quando il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell'altro: questa eventualità l'ho soprannominata io "dipendenza patologica"due eventi indipendenti incompatibili (cioè con intersezione nulla) sono eventi dipendenti (cioè il verificarsi di uno eclude il verificarsi dell'altro)
).I due eventi A e B sono indipendenti e incompatibili se e solo se uno dei due ha probabilità nulla.
Qual è esattamente la definizione di indipendenza nell'articolo?
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
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(Peril At End House)
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(Peril At End House)
La frase dell'articolo che genera tutti i mie dubbi è:
se A e B sono eventi indipendenti e incompatibili allora p(A u B) = p(A)+p(B)
Riprendo la tua dimostrazione:
prendo due punti P1 e P2 random in [0,1]
sia x in [0,1]
considero i seguenti due eventi:
A = il punto P1 cade in (x,1]
B = il punto P2 cade in (x,1] ma l'altro no
A e B sono dip. o indip.?
se A e B sono eventi indipendenti e incompatibili allora p(A u B) = p(A)+p(B)
Riprendo la tua dimostrazione:
prendo due punti P1 e P2 random in [0,1]
sia x in [0,1]
considero i seguenti due eventi:
A = il punto P1 cade in (x,1]
B = il punto P2 cade in (x,1] ma l'altro no
A e B sono dip. o indip.?
Per quanto ne so, c'è la cosiddetta formula della probabilità totale che assicura che quando A e B sono disgiunti, P(A u B)=P(A)+P(B) (almeno, nelle note che ho io questa formula è introdotta prima di dire cosa sia l'indipendenza).roberta ha scritto:La frase dell'articolo che genera tutti i mie dubbi è:
se A e B sono eventi indipendenti e incompatibili allora p(A u B) = p(A)+p(B)
Per come la vedo io, in questo caso A e B sono dipendenti perché disgiunti.Riprendo la tua dimostrazione:
prendo due punti P1 e P2 random in [0,1]
sia x in [0,1]
considero i seguenti due eventi:
A = il punto P1 cade in (x,1]
B = il punto P2 cade in (x,1] ma l'altro no
A e B sono dip. o indip.?
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Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
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Allora NON HO CAPITO PROPRIO NIENTE!!
Mauro Cerasoli scrive che se A e B sono eventi indipendenti e incompatibili allora
p(A unione B) = p(A) + p(B)
E' vero che, così com'è scritta, non è una condiz. nec. suff. , ma i dubbi mi restano.
Non potrebbero, i due eventi descritti nel mio preced. messaggio, essere considerati indip. perchè generati da due punti random? e essere considerati incompatibili perchè disgiunti? Oppure: devono essere considerati dip. perchè la sintassi di ogni evento è legata a quella dell'altro?
Mauro Cerasoli scrive che se A e B sono eventi indipendenti e incompatibili allora
p(A unione B) = p(A) + p(B)
E' vero che, così com'è scritta, non è una condiz. nec. suff. , ma i dubbi mi restano.
Non potrebbero, i due eventi descritti nel mio preced. messaggio, essere considerati indip. perchè generati da due punti random? e essere considerati incompatibili perchè disgiunti? Oppure: devono essere considerati dip. perchè la sintassi di ogni evento è legata a quella dell'altro?
Ho controllato su altri libri: p(AuB) = p(A)+p(B) per eventi incompatibili (cioè disgiunti). E stop! Ho deciso che lo terrò così.
Hai ragione, i due eventi del mio scorso messaggio sono dipendenti, ma questo (come del resto dici tu) non impedisce l'applicazione dell'additività in quanto sono incompatibili.
Grazie per l'INFINITA pazienza (e, naturalmente, per la competenza)
roberta
Ancora una domandina:
mi scrivi due eventi (discreti) che siano disgiunti e dipendenti?
Hai ragione, i due eventi del mio scorso messaggio sono dipendenti, ma questo (come del resto dici tu) non impedisce l'applicazione dell'additività in quanto sono incompatibili.
Grazie per l'INFINITA pazienza (e, naturalmente, per la competenza)
roberta
Ancora una domandina:
mi scrivi due eventi (discreti) che siano disgiunti e dipendenti?
Subito: prendi come spazio campionario le possibili uscite del lancio di un dado equo, quindi $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, poi prendiroberta ha scritto:Ancora una domandina:
mi scrivi due eventi (discreti) che siano disgiunti e dipendenti?
A="esce pari"={2,4,6}.
B="esce dispari"={1,3,5}.
Così è più evidente ancora che A e B sono disgiunti. Ed essendo disgiunti, sono dipendenti, avendo entrambi probabilità non nulla (infatti P(A)=P(B)=1/2).
Oppure vedila così: se fossero indipendenti la probabilità dell'intersezione sarebbe 1/4, ma la probabilità dell'intersezione è 0.
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)