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Probabilità al contrario

Inviato: mer lug 24, 2019 9:22 am
da sixam
Ho un'urna con 100 palline identiche, che un amico mi dice divise in bianche e nere (ma non in che quantità).
Mischio ed estraggo una pallina per volta (ovviamente, rimettendola dentro dopo), ed è sempre nera. Dopo un pò inizio a sospettare che mi abbiano mentito, e che ci siano solo palline nere.
C'è un modo per stimare, date n estrazioni consecutive identiche, la probabilità che le palline siano tutte nere?
Ammetto di non conoscere bene come pensavo il calcolo delle probabilità, in quanto mi sfugge il modo di approcciare il problema...

Re: Probabilità al contrario

Inviato: gio lug 25, 2019 12:43 am
da Gianfranco
Provo ad affrontare il problema usando le idee di Bayes.
Qualcosa di simile è risolto qui: http://utenti.quipo.it/base5/probabil/ ... acile.html
Semplifico il problema riducendo il numero di palline a 5, con 4 estrazioni.

So che in un sacchetto ci sono 5 palline.
Ne ho estratto 4 con reinserimento e sono risultate tutte nere.
Qual è la probabilità che il sacchetto contenga solo palline nere?

Questa è un'ipotesi. Devo calcolare la probabilità dell'ipotesi.
Sulla composizione del sacchetto ci sono 5 ipotesi possibili e a priori equiprobabili.
La nostra ipotesi è la n 1, e la chiamerò A.
palline_nere.PNG
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Seguendo il metodo di Bayes, abbiamo:

Ipotesi A: ci sono 5 palline nere

Informazione E: abbiamo estratto 4 palline nere di seguito (con reinserimento)

P(E|A): probabilità che avvenga E nell'ipotesi A. In questo caso è 1.

P(E): probabilità totale che avvenga E in tutte le ipotesi. Ci sono 5 ipotesi, a priori equiprobabili (1/5), nel nostro caso, P(E)=0,31328

Secondo Bayes:
$\Large P(A|E)=\frac{P(A) \cdot P(E|A)}{P(E)}$

Nel nostro caso:
P(A|E)= 1/5*1/0,31328 = 0,638406537 = 625/979

Ciò significa che, nella situazione descritta dal problema, c'è il 64% circa di probabilità che il sacchetto contenga 5 palline nere.
-------------------
Nel caso di 100 palline ed n estrazioni uguali, bisogna fare una sommatoria, magari lasciando la variabile n, così da ottenere una funzione come richiesto.

Se i massimi esperti del Forum confermano che questa è la strada giusta, posso provarci.
Ora però mi si chiude la palpebra...
Buona notte.

PS. Non capisco la risposta 42.

Re: Probabilità al contrario

Inviato: gio lug 25, 2019 4:28 pm
da sixam
Gianfranco ha scritto:
gio lug 25, 2019 12:43 am
PS. Non capisco la risposta 42.
Immagino tu non abbia mai letto (o sentito parlare) la 'Guida galattica per autostoppisti' :)

Re: Probabilità al contrario

Inviato: ven lug 26, 2019 6:48 pm
da Gianfranco
sixam ha scritto:
gio lug 25, 2019 4:28 pm
Immagino tu non abbia mai letto (o sentito parlare) la 'Guida galattica per autostoppisti' :)
:oops: E' uno smacco per me, appassionato di fantascienza, non aver colto l'allusione!
In effetti comprai il libro tanti anni fa, ma non lo trovai interessante, non mi sembrava neanche di fantascienza.In conclusione non l'ho mai letto.
guda_galattica_p.png
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Non ho neanche visto il film.
Tornando al problema matematico, propongo la seguente soluzione ma attendo la conferma dei guru della probabilità.
E' una generalizzazione del procedimento che ho presentato nel post precedente.
Un'urna contiene 100 palline identiche, divise in bianche e nere, ma non si sa quante.
Mischio ed estraggo una pallina per volta (ovviamente, rimettendola dentro dopo), ed è sempre nera. Dopo un pò inizio a sospettare che mi abbiano mentito, e che ci siano solo palline nere.
C'è un modo per stimare, date n estrazioni consecutive identiche, la probabilità che le palline siano tutte nere?
$\large f(n)=\frac{100^n}{\displaystyle \sum_{k=1}^{100} k^n}$