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La foresta intera

Inviato: ven lug 12, 2019 4:07 pm
da sixam
Data una foresta formata da n alberi (con n > 3), dimostrare che se presi 2 alberi a caso, la loro distanza è sempre un numero intero, allora tutti gli alberi sono sulla stessa retta.

Bye by SixaM 8-]

P.S. Il quesito non è mio, ma tratto da una raccolta cartacea che avevo anni fa. Ricordo vagamente la soluzione, che all'epoca mi lasciò abbastanza interdetto.

Re: La foresta intera

Inviato: ven lug 12, 2019 4:49 pm
da Bruno
Benvenuto, SixaM ;)

Temo (se non fraintendo) che il testo non sia corretto o comunque debba essere precisato.
Penso che questo veloce schema te lo possa dimostrare:

SixaM.jpg
SixaM.jpg (4.97 KiB) Visto 187 volte

dove i cinque alberi (punti) non sono sulla stessa retta...

Re: La foresta intera

Inviato: ven lug 12, 2019 7:47 pm
da Pasquale
Già, occorreva precisare come condizione l'esclusione delle terne pitagoriche. Sarebbe stato quindi sufficiente formulare il quesito con una piccola variazione:

" data una foresta formata da n alberi (con n > 5), dimostrare che se presi 2 alberi a caso, la loro distanza è sempre un numero intero, allora tutti gli alberi sono sulla stessa retta.

Forse l'autore intendeva effettuare la suddetta precisazione e magari in una trascrizione si è scambiato il 5 con un 3.

In effetti, le simmetrie consentono distanze di misura intera fino a 5 punti opportunamente disposti, come ad esempio un rettangolo di lati 6 ed 8 con le diagonali tracciate.


(Così modificato e semplificato)

Re: La foresta intera

Inviato: dom lug 14, 2019 4:22 pm
da Gianfranco
Benvenuto nel forum sixam!
sixam ha scritto:
ven lug 12, 2019 4:07 pm
Ricordo vagamente la soluzione, che all'epoca mi lasciò abbastanza interdetto.
Mi sembra che il seguente teorema di Anning-Erdos contraddica la congettura fatta nel problema:
Erdos_Anning.PNG
Erdos_Anning.PNG (13.75 KiB) Visto 162 volte
Se ne parla su BASE Cinque qui:
http://utenti.quipo.it/base5/erdos/Erdo ... tances.pdf
qui:
http://utenti.quipo.it/base5/geopiana/s ... st_int.htm
e in un'altra pagina non conclusa.
Qui sotto, per esempio, c'è una soluzione con sei punti.
ErdosAnning_6.gif
ErdosAnning_6.gif (11.06 KiB) Visto 162 volte
In conclusione, se la soluzione ti ha lasciato interdetto, eri nel vero, augh!

Sarebbe interessante ritrovare quella soluzione.

Re: La foresta intera

Inviato: lun lug 15, 2019 7:54 am
da Bruno
Bel colpo, Gianfranco :)

Re: La foresta intera

Inviato: lun lug 15, 2019 10:12 am
da sixam
[x Pasquale] Hai ragione, mi sono accorto dopo che le terne pitagoriche dovevano essere escluse...

[x GianFranco] Non conoscevo il Teorema che hai citato. In effetti, il testo originale del problema (ripeto, l'ho letto anni fa) parlava di "...una foresta infinita...", ma pensavo fosse un'indicazione sostituibile con "n>3 alberi"...

Bye by SixaM 8-]

P.S. La soluzione originale, se non ricordo male, partiva considerando un fascio di iperboli...

Re: La foresta intera

Inviato: lun lug 15, 2019 11:02 am
da Bruno
Con le doverose precisazioni che hai appena fornito, SixaM, praticamente hai cambiato i connotati al problema iniziale - penso :wink:

Re: La foresta intera

Inviato: lun lug 15, 2019 11:34 am
da Gianfranco
sixam ha scritto:
lun lug 15, 2019 10:12 am
...una foresta infinita...
Come ha notato Bruno, rientriamo correttamente nel teorema di Anning-Erdos, se si intende che la foresta contiene un numero infinito $\aleph_0$ di alberi.

Re: La foresta intera

Inviato: lun lug 15, 2019 1:03 pm
da sixam
Gianfranco ha scritto:
lun lug 15, 2019 11:34 am
[cut]
Come ha notato Bruno, rientriamo correttamente nel teorema di Anning-Erdos, se si intende che la foresta contiene un numero infinito $\aleph_0$ di alberi.
In effetti era questo il problema originale... ho scartabellato un po' in rete, e la dimostrazione usa le iperboli.
Col senno di poi, mi suona strano che come indovinello abbiano posto la dimostrazione di un teorema... un po' come se chiedessero "In un triangolo rettangolo, se i cateti sono 3 e 4, perchè l'ipotenusa è 5?"

Bye by SixaM 8-]

Re: La foresta intera

Inviato: lun lug 15, 2019 2:06 pm
da Gianfranco
Molti matematici, e Erdos è tra i primi in classifica, hanno risolto problemi che hanno il gusto della matematica ricreativa e che si possono riproporre "come nuovi". Sono sempre un ottimo esercizio per cercare nuove dimostrazioni, variazioni sul tema e collegamenti.
Se poi sono usati per dimostrare altri risultati matematici allora diventano teoremi "istituzionali" e magari ricevono un nome, tipo "il teorema di Pitagora".
Mi sembra riduttivo chiamrli "indovinelli".
Ogni problema di matematica è in realtà un teorema da dimostrare.

Re: La foresta intera

Inviato: lun lug 15, 2019 3:14 pm
da Bruno
Concordo pienamente con Gianfranco ;)