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Determinare il maggiore fra $(\frac{11}{10})^{\sqrt{5}}$ e $(\frac{12}{11})^{\sqrt{6}}$ e giustificare la risposta.

edit: Le radici quadrate sono all'esponente della frazione fra parentesi e non moltiplicate!


Nota: E' un problema posto nel 2018 alle olimpiadi di matematica in Bulgaria. Evidentemente i candidati non avevano a loro disposizione nè calcolatrici, nè tavole logaritmiche, ne qualsiasi altro tipo di supporto per eseguire i calcoli.


A5906 www.diophante.fr

Il rapporto tra i due numeri, il secondo diviso il primo, vale

$\displaystyle \frac{120}{121}\sqrt\frac65 = \frac{120}{121}\sqrt{\frac{120}{100}}\approx\frac{120}{121}\frac{11}{10} = \frac{12}{11}>1 $

Ne consegue che il secondo è maggiore del primo.

(Ho eseguito i calcoli sopra descritti senza supporti)

Stavo giusto per aggiungere un'altra nota al testo del problema (lo faccio ora) ...

Le radici quadrate sono all'esponente della frazione fra parentesi e non moltiplicate

Purtroppo la visualizzazione può trarre in inganno (o ho sbagliato qualcosa visto che con LaTex sono una frana).
io ho scritto la formula così: (\frac{11}{10})^{\sqrt{5}}

Passiamo ai logaritmi e abbiamo rispettivamente $\sqrt5\left(\log{11}-\log{10}\right)$ e $\sqrt6\left(\log{12}-\log{11}\right)$.

Essendo $\log{11}-\log{10}\approx\log{12}-\log{11}$ il secondo numero è maggiore del primo.


P.S. hai scritto (\frac{11}{10})^{\sqrt{5}} ottenendo $(\frac{11}{10})^{\sqrt{5}}$: se tu avessi scritto \left(\frac{11}{10}\right)^{\sqrt{5}} avresti ottenuto $\left(\frac{11}{10}\right)^{\sqrt{5}}$, con l'apice un filo più evidente...

Guido,
In effetti il secondo numero è maggiore del primo (l'ho verificato con la calcolatrice ) ma la spiegazione non mi convince.
Tu scrivi che $\log{11}-\log{10}\approx\log{12}-\log{11}$ ma in realtà, anche se di poco, è $\log{11}-\log{10}>\log{12}-\log{11}$.
Non non sono sicuro quindi sia corretto al 100% limitare il confronto ai due numeri sotto radice.
Sarebbe un po' come dire che $\frac{11}{10}\approx\frac{12}{11}$ e quindi il secondo numero è più grande del primo perchè ha un esponente maggiore ...

difatti

$\displaystyle \frac{11}{10} \approx \frac{12}{11}$

perché

$\displaystyle 121 \approx 120$

il che è ancora più vero per i rispettivi logaritmi: le due frazioni si somigliano molto di più delle due radici, $\sqrt5=2,2\ldots$ e $\sqrt6=2,4\ldots$

Continuo a non essere convinto.

Applicando il tuo ragionamento risulterebbe allora che $\left(\frac{12}{11}\right)^{\sqrt{7}}$ è maggiore di $\left(\frac{11}{10}\right)^{\sqrt{6}}$, cosa che invece (calcolatrice alla mano) non è.

Poniamo che sia:

$(\frac{12}{11})^{\sqrt{6}}$ > $(\frac{11}{10})^{\sqrt{5}}$

In tal caso, potremmo scrivere:

$\sqrt{6}(log_{12}{12} - log_{12}{11}) > \sqrt{5}(log_{12}{11} - log_{12}{10}) $

$log_{12}{12} > \sqrt{\frac{5}{6}}(log_{12}{11} - log_{12}{10}) + log_{12}{11}$

con 0<a<1; 0<b<1 e 0<c<b, avremmo che:

1 > (1-a)[(1-b)-(1-c)] +(1-b)
1> c-ac+ab-2b+1
c(1-a)+b(a-2)<0

b(a-2) < c(a-1)

$a-2 < \frac{c}{b}(a-1)$

la quale relazione renderebbe vera anche l'ipotesi iniziale, se si ritiene sufficiente la considerazione che il rapporto c/b può essere valutato vicino all'unità, mentre a è più vicina allo zero.

In caso contrario,occorrerebbe esplorare la possibilità di una diversa strategia.