BASE CINQUE FORUM

Ciao a tutti
mi avevano avvisato che quando si raggiunge l'agognata pensione si ha meno tempo per i propri hobby di quando si va a lavorare.
Quanto sopra forse è un po' esagerato ma non del tutto falso perché visto che "non ho niente da fare" vengo incaricato di tutti quei compiti che una volta erano ripartiti a tutta la famiglia.
Ho premesso ciò in parte per giustificare le mie consuete sparizioni e in parte come incipit
al quesito che sto per postare.
Ho trovato qui ( https://www.youtube.com/watch?v=0sQSuO9GglA ) un problema che confesso mi ha lasciato perplesso e ci ho messo un po' a capirlo anche perché è parecchio contro intuitivo .
Riassumo brevemente c'è una formica su una corda elastica lunga un Km, in un secondo la formica percorre un cm , dopo il primo secondo la corda elastica si dilata raggiungendo la lunghezza di due Km
poi la formica avanza di un altro cm e ancora la corda si dilata raggiungendo la lunghezza di 3 Km e così via ... riuscirà mai la formica a raggiungere l'altro estremo della corda ...ecc.
segue la spiegazione e il risultato (per me cervellotico).
Ora mi domando variando i termini del problema :
supponiamo cioè che la corda elastica sia lunga 3 cm e che si allunghi di un centimetro dopo dopo ogni spostamento della formica quando questa raggiungerà l'altro estremo della corda.
Arrivederci "speriamo con una frequenza maggiore"
Ronfo

il problema è posto in modo impreciso, a mio parere.
non viene specificato dove si allunga la corda. Chi dice che non si allunghi tutta dalla parte opposta alla direzione di marcia? in questo caso basta poco più di un giorno

Ah, Ronfo! Anch'io sono in pensione, da circa 2 anni.
Questo problema mi ha ricordato i vecchi tempi di BASE Cinque, quando non eravamo ancora in pensione. Avevamo risolto un problema simile nel 2001, proposto da Gennaro Cangiano.
Il link è http://utenti.quipo.it/base5/ricevuto/ricapr01.htm (problema n.66 - La formica sull'elastico ).
Quel problema era "continuo", questo invece mi sembra "discreto" nel senso che l'elastico si allunga "a scatti", ogni secondo.
In quel problema, la formica partiva dal primo estremo che era fisso, mentre il secondo estremo si spostava a velocità costante.
Concordo con Enrico, che la formulazione va precisata (oppure si deve dimostrare che il punto fisso della dilatazione è ininfluente)
Una sfida per matematici in pensione e non!

Ciao Gianfranco, ciao delfo52
ora che siamo "colleghi "avremo più occasioni di scambiarci opinioni e commenti.
Per quanto concerne la formulazione del problema ribadisco che sono rimasto alquanto titubante anch'io .
Da quello che espone il link sembra che anche in questo caso il primo estremo sia fisso mentre il secondo si muove a scatti; ma in questo movimento "trascina in avanti la formica " che quindi ha meno strada da percorrere .
Ripeto la soluzione è contro intuitiva perché se la strada aumenta (almeno nella fase iniziale ) più di quella percorsa non si capisce come possa la formica raggiungere la fine , ma ,da come ho capito io , l'allungamento trascina la formica in avanti.
Ho provato con carta e penna a dare una soluzione ... ma per il momento sono ancora in viaggio(sia la formica che il sottoscritto).
Buona giornata a tutti
Ronfo

Secondo me, se si parla di una corda elastica bisogna dare per scontato che l'allungamento sia distribuito uniformemente su tutta la sua lunghezza (altrimenti sarebbe una corda che ha una parte elastica e una parte anelastica oppure ci sarebbero dei punti d'ancoraggio fissi intermedi che non vengono citati ).
Per intenderci, se la formica sta a un centesimo della lunghezza della corda l'allungamento sarà per un centesimo alle sue spalle e per novantanove centesimi davanti. (almeno credo )

Il ragionamento di Franco è corretto. Il testo dice chiaramente “la corda si dilata”, cioè ogni sua parte si allunga nello stesso modo: sia la parte già percorsa dalla formica, sia quella ancora da percorrere.

Sia dunque $b_n=n\,b_1$ la lunghezza della corda (in kilometri) al momento dell’n-esimo passo della formica; se confrontiamo la lunghezza di due passi successivi osserviamo che

$\displaystyle \frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$

La stessa proporzione vale per la parte già percorsa dalla formica alla quale, ad ogni passo, si aggiunge un prezioso centimetro

$\displaystyle a_n=\frac{n}{n-1}a_{n-1}+1\text{ cm}$

Se applichiamo la definizione ricorsivamente otteniamo

$\begin{array}{lllC}
\displaystyle a_n & = & \displaystyle \frac{n}{n-1}\left(\frac{n-1}{n-2}a_{n-2}+1\text{ cm}\right)+1\text{ cm}=\frac{n}{n-2}a_{n-2}+\frac{n}{n-1}\text{ cm}+1\text{ cm} \\
& = & \displaystyle \frac{n}{n-3}a_{n-3}+\frac{n}{n-2}\text{ cm}+\frac{n}{n-1}\text{ cm}+1\text{ cm} \\
& \vdots & \\
& = & \displaystyle \frac{n}{1}a_{1}+\frac{n}{2}\text{ cm}+\cdots+\frac{n}{n-1}\text{ cm}+1\text{ cm}
\end{array}$

ed infine, ricordando che $a_1=1\text{ cm}$ e che $1=n/n$, otteniamo

$\displaystyle a_n=n\left(1 + \frac12+\cdots+\frac1{n-1}+\frac1n\right) \text{ cm} = nH_n\text{ cm} $

dove $H_n$ è il termine n-esimo della successione dei Numeri Armonici, le somme parziali della Serie Armonica.

Il rapporto tra la lunghezza percorsa dalla formica e la lunghezza totale vale

$\displaystyle r_n=\frac{a_n}{b_n}=\frac{nH_n\text{ cm}}{n b_1}=\frac{H_n\text{ cm}}{1\text{ km}}=10^{-5}H_n $

Ora, la Serie Armonica diverge quindi la formica è sicura di arrivare alla fine della corda, se ha pazienza sufficiente.
Tenuto presente che $\int{\frac1x dx}=\ln x$ non stupisce osservare che $H_n$ si comporti asintoticamente come $\ln n$ e, in particolare, che $H_n>\ln n$: ciò significa che se prendiamo $H_n>\ln n>10^5$, cioè $n>e^{100000}$, siamo sicuri che la formica sia arrivata dall’altra parte.
Ma, ad un passo al secondo, questo passaggio necessita di circa $10^{43422}\text{ anni}$ mentre la corda diventa lunga circa $10^{43429}\text{ km}$, da confrontare con l’età, circa $10^{10}\text{ anni}$, e le dimensioni, circa $10^{24}\text{ km}$, dell’universo osservabile.

Grazie panurgo
e buona giornata
Ronfo