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Medaglie particolari

Inviato: dom apr 21, 2019 10:36 am
da Ivana
Calcolare i diametri (che si esprimono in millimetri e in numeri interi) di quattro medaglie, sapendo che:
1) la misura del diametro della medaglia più grande è uguale alla somma delle misure degli altri diametri (delle tre medaglie più piccole);
2) le tre medaglie più piccole possono essere sistemate sulla medaglia più grande cosicché ogni medaglia sia tangente alle altre tre,
3) la parte della medaglia maggiore, precisamente quella parte non coperta dalle tre medaglie più piccole, equivale a un cerchio inscritto in un quadrato la cui area è di 19320 mm^2

Spero che il problema da me inserito non sia a voi già noto e, comunque, approfitto di questo intervento per inviare a tutti/e voi i miei migliori auguri “matematici” di Buona Pasqua.

Re: Medaglie particolari

Inviato: ven apr 26, 2019 11:29 am
da panurgo
Intanto beccatevi questo
MEPA_480x480.png
MEPA_480x480.png (20.44 KiB) Visto 481 volte
La spiega a quando avrò un attimo.

Re: Medaglie particolari

Inviato: ven apr 26, 2019 3:33 pm
da franco
Stavo cercando la soluzione con un po' di forza bruta ma, adesso che ho visto la soluzione, mi sono accorto che facevo un errore con l'applicazione del teorema di Descartes (non mettevo il segno meno sulla curvatura della circonferenza esterna).

Questa è la routine non certo ottimizzata che ho usato;

Sub Medaglie()
Dim R1, R2, R3, R4 As Integer
Dim Limit As Integer
Limit = 100
For R1 = 1 To Limit
For R2 = 1 To Limit
For R3 = 1 To Limit
R4 = R1 + R2 + R3
k1 = 1 / R1
k2 = 1 / R2
k3 = 1 / R3
k4 = -1 / R4 ' negativo in quanto circosctitto agli altri tre
' verifica area non sovrapposta
check1 = R1 * R2 + R2 * R3 + R3 * R1
If check1 = 2415 Then
' verifica tangenza
check2 = (k1 + k2 + k3 + k4) ^ 2
check3 = 2 * (k1 ^ 2 + k2 ^ 2 + k3 ^ 2 + k4 ^ 2)
If check2 = check3 Then
Cells(1, 1) = R1
Cells(2, 1) = R2
Cells(3, 1) = R3
Cells(4, 1) = R4
R1 = Limit
R2 = Limit
R3 = Limit
End If
End If
Next R3
Next R2
Next R1
End Sub


I risultati (non ne avevo dubbio) confermano quelli del Panurgo.
Sono curioso di vedere la soluzione analitica :)

P.S. la routine è scritta in Visual Basic per Excel e i 4 raggi sono scritti sulle prime 4 celle del foglio; credo sia comunque facilmente traducibile in qualsiasi tipo di linguaggio Basic.

Re: Medaglie particolari

Inviato: ven apr 26, 2019 5:14 pm
da panurgo
franco ha scritto:
ven apr 26, 2019 3:33 pm
Sono curioso di vedere la soluzione analitica :)
Non se ci sia molto di analitico: scelto $r_1$ come raggio della circonferenza esterna, la prima condizione proposta implica $r_1=r_2+r_3+r_4$ mentre la terza implica $\pi r_1^2-\pi r_2^2-\pi r_3^2-\pi r_4^2=\pi 19320/4$, ovvero $r_1^2=r_2^2+r_3^2+r_4^2+4830$

Mettendo insieme queste due condizioni si ottiene (con facile algebra)

$\left\{\begin{array}{lC} \displaystyle r_2=\frac{2415 - r_3 r_4}{r_3 + r_4}\\ \displaystyle r_1=r_2+r_3+r_4\end{array}\right.$

La ricerca dei valori di $r_3$ e $r_4$ ($r_3>r_4$) per i quali $r_2$ è un intero positivo non richiede neppure un programma: basta un foglio di excel

$\begin{array}{cC}
r_1 & r_2 & r_3 & r_4 \\
\hline
1209 & 1207 & 1 & 1 \\
607 & 603 & 3 & 1 \\
309 & 301 & 7 & 1 \\
166 & 150 & 15 & 1 \\
98 & 57 & 39 & 2 \\
407 & 401 & 3 & 3 \\
308 & 300 & 5 & 3 \\
211 & 199 & 9 & 3 \\
122 & 98 & 21 & 3 \\
228 & 217 & 7 & 4 \\
196 & 183 & 9 & 4 \\
156 & 139 & 13 & 4 \\
249 & 239 & 5 & 5 \\
137 & 117 & 15 & 5 \\
96 & 56 & 35 & 5 \\
142 & 123 & 13 & 6 \\
94 & 51 & 37 & 6 \\
183 & 169 & 7 & 7 \\
163 & 147 & 9 & 7 \\
127 & 105 & 15 & 7 \\
109 & 81 & 21 & 7 \\
102 & 70 & 25 & 7 \\
93 & 49 & 37 & 7 \\
96 & 59 & 29 & 8 \\
119 & 95 & 15 & 9 \\
113 & 87 & 17 & 9 \\
101 & 69 & 23 & 9 \\
94 & 55 & 30 & 9 \\
91 & 43 & 39 & 9 \\
97 & 63 & 21 & 13 \\
93 & 55 & 25 & 13 \\
103 & 73 & 15 & 15 \\
98 & 65 & 18 & 15 \\
91 & 51 & 25 & 15 \\
89 & 45 & 29 & 15 \\
88 & 40 & 33 & 15 \\
87 & 35 & 35 & 17 \\
89 & 47 & 21 & 21 \\
86 & 35 & 30 & 21 \\
87 & 41 & 23 & 23
\end{array}$

Di tutte queste quaterne solo $\left\{88,40,33,15\right\}$ rispetta il Teorema di Descartes/Soddy...

Re: Medaglie particolari

Inviato: sab apr 27, 2019 2:32 pm
da Ivana
Ottima la risoluzione! Siete bravissimi!

C’è anche un altro procedimento algebrico risolutivo, che non fa ricorso al teorema di Descartes/Soddy. Si usa, comunque, algebra semplice (la ritengo semplice quando … la si legge, ma, almeno per me, non sarebbe facile da “vedere” in modo autonomo, soprattutto se manca … l’ allenamento). :D Tale procedura parte dalla considerazione che i centri, dei cerchi descritti nel testo del problema, individuano un rettangolo … Vengono impostate equazioni semplici, si effettuano determinati opportuni confronti tra le equazioni e si giunge a un’ equazione di secondo grado, di cui il discriminante dovrà necessariamente essere un quadrato perfetto ...
Mi sembra non sia, però, un procedimento più conveniente rispetto a quello da voi usato.

Re: Medaglie particolari

Inviato: lun apr 29, 2019 7:58 am
da Bruno
Bel problema, mi pare interessante l'approccio illustrato da Ivana - a cui invio un caro saluto :D

Re: Medaglie particolari

Inviato: lun apr 29, 2019 1:58 pm
da franco
Ivana ha scritto:
sab apr 27, 2019 2:32 pm
C’è anche un altro procedimento ...
Non sono sicuro che questo procedimento aiuti.
Nell'immagine sotto ho "dato un nome" ai centri delle circonferenze; i raggi li identifico con le rispettive lettere minuscole.
medaglie.png
medaglie.png (95.86 KiB) Visto 389 volte
Il fatto che i centri siano ai vertici di un rettangolo lo posso tradurre in "lati opposti uguali" e "diagonali uguali":
AB = CD --> a-b = c+d --> a = b+c+d
AD = BC --> a-d = b+c --> a = b+c+d
AC = BD --> a-c = b+d --> a = b+c+d

Non trovo informazioni aggiuntive oltre a quella, già nota, sul raggio della medaglia più grande pari alla somma degli altri tre.

... a meno che non mi sfugga qualcos'altro

Re: Medaglie particolari

Inviato: lun apr 29, 2019 3:19 pm
da Ivana
Grazie, Bruno, ricambio di cuore il tuo graditissimo saluto! Non so se l'approccio di cui ho parlato sarà ritenuto interessante ... :roll:
Franco e Bruno, vi ringrazio per l' interessamento e inizio a impostare il procedimento algebrico a cui ho accennato e poi aspetterò nel caso qualcuno volesse continuarlo …
Indichiamo con $x $ $\;$il raggio della circonferenza maggiore e con $a$,$\;$ $b$$\;$e $\;$$c$$\;$gli altri raggi e supponiamo che $a\geq c\geq b$
$x = a + b + c$ $ \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\;\;\; $ Chiamiamola equazione (1)
Per il teorema di Pitagora:
$(b+a)^2+(b+c)^2=(a+c)^2$
quindi $ac-b*(a+c)=b^2 $ $ \; \;\; \; $ Chiamiamola equazione (2)
Inoltre dal fatto che l'area della parte non coperta equivalga all'area del cerchio maggiore meno la somma delle tre aree minori:
$x^2-(a^2+b^2+c^2)= 4830$ $ \; \; \;\; $Chiamiamola equazione (3)
...

Re: Medaglie particolari

Inviato: mar apr 30, 2019 11:35 pm
da panurgo
Cominciamo con l'osservare come possiamo costruire i cerchi in questione
mepa.66.33.11.06.TO.png
mepa.66.33.11.06.TO.png (37.61 KiB) Visto 342 volte
Le distanze dei centri dei cerchi tangenti sono pari alla somma dei rispettivi raggi: $\text{CD}=r_3+r_4$, $\text{BC}=r_2+r_4$ e $\text{BD}=r_2+r_3$.

Le distanze di questi tre centri dal centro del cerchio osculante sono date dalle differenze dei relativi raggi: $\text{AB}=r_1-r_2$, $\text{AC}=r_1-r_4$ e $\text{AD}=r_1-r_3$.

Se è $r_1=r_2+r_3+r_4$ allora $r_1-r_2=r_3+r_4$, $r_1-r_3=r_2+r_4$ e $r_1-r_4=r_2+r_3$. Ovvero $\text{AB}=\text{CD}$, $\text{AD}=\text{BC}$ e $\text{AC}=\text{BD}$: un quadrilatero con i lati opposti congruenti (un parallelogramma) e con le diagonali pure congruenti (un rettangolo).
mepa.66.55.06.05.TO.png
mepa.66.55.06.05.TO.png (39.31 KiB) Visto 342 volte
PS: è tardi, vado a nanna... :roll:

Re: Medaglie particolari

Inviato: gio mag 23, 2019 1:00 pm
da Ivana
Eccomi.
Ottimo, Panurgo!
Concludo velocemente la risoluzione algebrica sperando non sia per voi deludente (e direi come A. Manzoni: se fossi riuscita ad annoiarvi, “credete che non s’è fatto apposta”.)
Elevando al quadrato entrambi i membri dell’equazione (1) e confrontandola quindi con la (3) (vedere mio messaggio precedente di lun apr 29, 2019 4:19 ) si ha:
 ac + b*(a+c) = 2415 Chiamiamola equazione (4)
(naturalmente ho saltato i vari passaggi ritenendo sia superflua, per voi, la loro citazione)
Confrontando l’equazione (4) con l’equazione (2) (e ricordando come si trovano due numeri conoscendo la loro somma e la loro differenza), otteniamo:
a*c=\frac{2415+b^2}{2}

b*(a+c)=\frac{2415-b^2}{2}
2b*(a+c)+b^2 = 2415
b è, quindi, minore di 50 ed è uno dei divisori di 2415 e, quindi, si può compilare la seguente tabella:
TABELLA.jpg
TABELLA.jpg (24.03 KiB) Visto 277 volte
Ricordando il famoso trinomio caratteristico, scriviamo la seguente equazione di secondo grado:
y^2 -(a+c)y + a*c = 0
Essendo a e c numeri interi, il discriminante dell’equazione deve essere un quadrato perfetto.
Allora si ha un’unica risoluzione corrispondente soltanto a b=15
a=40 c=33

Re: Medaglie particolari

Inviato: gio mag 23, 2019 1:08 pm
da Ivana
Ho dimenticato di dire dove ho tratto tale problema (a cui ho apportato una modifica).
Avevo letto tale problema nel libro "Nuovi giochi di ingegno e divertimenti matematici" di Jean-Pierre Alem

Re: Medaglie particolari

Inviato: gio mag 23, 2019 5:04 pm
da Bruno
Grazie, Ivana :D
Letto il tuo post di aprile, ricordo di aver messo in pratica l'idea cui accennavi per raggiungere le stesse conclusioni.
Buona serata :wink: