Un’addizione carina
Cari ed ottimi, questo problema suona antico perché al dì de un co’ (a Padova, “al giorno d’oggi”) basta scrivere un programmino e il gioco è fatto!
Va beh, non è proprio così banale: a meno di non possedere un
Cray occhio al numero di operazioni.
Siccome siamo vecchi (e l’antica ci sconfiffera) proviamo a seguire un ragionamento analogo a quello di
Bruno.
La somma è un numero di quattro cifre, il che ci lascia con sei cifre a disposizione quindi vi sono tre possibilità per quel che riguarda il numero di cifre degli addendi: $\text{2-2-2}$, $\text{1-2-3}$ e $\text{1-1-4}$.
Il primo caso lo possiamo escludere facilmente perché il valore massima della somma è $98+76+54=228$ che ha tre cifre; nel terzo caso, la differenza dei due numeri di quattro cifre deve essere piccola perché il valore massimo della somma di due cifre è $17$ perciò dobbiamo avere che le cifre delle migliaia differiscono di $1$ mentre le cifre delle centinaia devono essere $9$ per l’addendo e $0$ per la somma: ma, $987+6+5=998$ è il massimo valore possibile per la somma escluse le migliaia dell’addendo di quattro cifre quindi non ci resta che $\text{1-2-3}$.
Osserviamo adesso le cifre delle unità: devono essere tutte distinte, diverse da $0$, $1$ e $9$ e deve essere $S_u=u_a+u_b+u_c-u_d=10k$ perché deve essere $a+b+c-d=0$; inoltre, se noi scambiamo tra loro le cifre delle unità degli addendi la somma non cambia per cui possiamo elencare le cifre a cominciare dalla più bassa
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|C}
\hline
u_a & u_b & u_c & u_d & S_u & \text{note}\\
\hline
2 & 3 & 4 & 9 & 0 & \text{contiene un 9} \\
2 & 3 & 5 & 0 & 10 & \text{contiene uno 0} \\
2 & 3 & 6 & 1 & 10 & \text{contiene un 1} \\
2 & 3 & 7 & 2 & 10 & \text{contiene due 2} \\
\hline
2 & 3 & 8 & 3 & 10 & \text{contiene due 3} \\
2 & 4 & 5 & 1 & 10 & \text{contiene un 1} \\
2 & 4 & 6 & 2 & 10 & \text{contiene due 2} \\
2 & 4 & 7 & 3 & 10 & \text{valido!} \\
\hline
2 & 4 & 8 & 4 & 10 & \text{contiene due 4} \\
2 & 5 & 6 & 3 & 10 & \text{valido!} \\
2 & 5 & 7 & 4 & 10 & \text{valido!} \\
2 & 5 & 8 & 5 & 10 & \text{contiene due 5} \\
\hline
2 & 6 & 7 & 5 & 10 & \text{valido!} \\
2 & 7 & 8 & 7 & 10 & \text{contiene due 7} \\
3 & 4 & 5 & 2 & 10 & \text{valido!} \\
3 & 4 & 6 & 3 & 10 & \text{contiene due 3} \\
\hline
3 & 4 & 7 & 4 & 10 & \text{ contiene due 4} \\
3 & 4 & 8 & 5 & 10 & \text{valido!} \\
3 & 5 & 6 & 4 & 10 & \text{valido!} \\
3 & 5 & 7 & 5 & 10 & \text{ contiene due 5} \\
\hline
3 & 5 & 8 & 6 & 10 & \text{valido!} \\
3 & 6 & 7 & 6 & 10 & \text{ contiene due 6} \\
3 & 6 & 8 & 7 & 10 & \text{valido!} \\
3 & 7 & 8 & 8 & 10 & \text{ contiene due 8} \\
\hline
4 & 5 & 6 & 5 & 10 & \text{ contiene due 5} \\
4 & 5 & 7 & 6 & 10 & \text{valido!} \\
4 & 5 & 8 & 7 & 10 & \text{valido!} \\
4 & 6 & 7 & 7 & 10 & \text{ contiene due 7} \\
\hline
4 & 6 & 8 & 8 & 10 & \text{ contiene due 8} \\
5 & 6 & 7 & 8 & 10 & \text{valido!} \\
5 & 7 & 8 & 0 & 20 & \text{contiene uno 0} \\
6 & 7 & 8 & 1 & 20 & \text{contiene un 1} \\
\hline
\end{array}$
Osserviamo che tutte le quadruple valide danno come “somma” $S_u=10$; le cifre delle decine, $d_b$, $d_c$ e $d_d$, devono dare come “somma” $S_d=d_b+d_c-d_d=9$: queste nove decine più le dieci unità danno esattamente il centinaio che manca a $9h$ per arrivare a $10h$.
Per avere $S_d=9$ è gioco forza sommare fra di loro le due cifre più grandi e sottrarre la più piccola, per esempio $8+7-6=9$ oppure $7+4-2=9$ ecc.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|C}
\hline
u_a & u_b & u_c & u_d & S_u & d_b & d_c & d_d & S_d & \text{note}\\
\hline
2 & 4 & 7 & 3 & 10 & 8 & 6 & 5 & 9 & \text{valido!} \\
2 & 5 & 6 & 3 & 10 & 8 & 7 & 4 & 11 & \\
2 & 5 & 7 & 4 & 10 & 8 & 6 & 2 & 12 & \\
2 & 6 & 7 & 5 & 10 & 8 & 4 & 3 & 9 & \text{valido!} \\
\hline
3 & 4 & 5 & 2 & 10 & 8 & 7 & 6 & 9 & \text{valido!} \\
3 & 4 & 8 & 5 & 10 & 7 & 6 & 2 & 11 & \\
3 & 5 & 6 & 4 & 10 & 8 & 7 & 2 & 13 & \\
3 & 5 & 8 & 6 & 10 & 7 & 4 & 2 & 9 & \text{valido!} \\
\hline
3 & 6 & 8 & 7 & 10 & 5 & 4 & 2 & 7 & \\
4 & 5 & 7 & 6 & 10 & 8 & 3 & 2 & 9 & \text{valido!} \\
4 & 5 & 8 & 7 & 10 & 6 & 3 & 2 & 7 & \\
5 & 6 & 7 & 8 & 10 & 4 & 3 & 2 & 5 & \\
\hline
\end{array}$
Queste cinque decuple danno luogo a sessanta soluzioni dato che è possibile permutare indipendentemente le cifre delle decine e quelle delle unità degli addendi ($5\times3!\times2!=60$), ovvero
$\begin{array}{cC}
2 + 87 + 964 = 1053 \\
3 + 48 + 975 = 1026 \\
3 + 74 + 985 = 1062 \\
3 + 75 + 984 = 1062 \\
3 + 84 + 975 = 1062 \\
4 + 37 + 985 = 1026 \\
4 + 62 + 987 = 1053 \\
4 + 73 + 985 = 1062 \\
4 + 82 + 967 = 1053 \\
4 + 85 + 973 = 1062 \\
4 + 87 + 935 = 1026 \\
5 + 37 + 984 = 1026 \\
5 + 73 + 948 = 1026 \\
5 + 73 + 984 = 1062 \\
5 + 74 + 983 = 1062 \\
5 + 78 + 943 = 1026 \\
5 + 83 + 974 = 1062 \\
5 + 84 + 937 = 1026 \\
5 + 84 + 973 = 1062 \\
5 + 87 + 934 = 1026 \\
6 + 42 + 987 = 1035 \\
6 + 47 + 982 = 1035 \\
6 + 82 + 947 = 1035 \\
6 + 87 + 942 = 1035 \\
7 + 34 + 985 = 1026 \\
7 + 35 + 984 = 1026 \\
7 + 42 + 986 = 1035 \\
7 + 46 + 982 = 1035 \\
7 + 62 + 984 = 1053 \\
7 + 64 + 982 = 1053 \\
7 + 82 + 946 = 1035 \\
7 + 82 + 964 = 1053 \\
7 + 84 + 935 = 1026 \\
7 + 84 + 962 = 1053 \\
7 + 85 + 934 = 1026 \\
7 + 86 + 942 = 1035 \\
8 + 43 + 975 = 1026 \\
8 + 45 + 973 = 1026 \\
8 + 73 + 945 = 1026 \\
8 + 75 + 943 = 1026
\end{array}$
S ciao