BASE CINQUE FORUM

Sia $\small \,\overline{AB} = 2\cdot r\,$ il diametro noto di una circonferenza (consideriamolo orizzontale).
Sia $\small \,C\,$ il punto della semicirconferenza superiore distante $\small \,r\,$ da $\small \,A$.
Determinare la posizione del punto D della semicirconferenza inferiore con la seguente proprietà:
. chiamata $\small \,E\,$ l'intersezione di $\small \,\overline{AB}\,$ con $\small \,\overline{CD}$, è $\small \, \overline{AE}+\sqrt{2}\cdot\overline{ED} \,=\, \overline{AB}$.

AC = AG = CO = AO = OF = r
AB = CF = 2r
AH = OH = r/2
CH = GH = $\frac{r\sqrt{3}}{2}$

$1) AE + ED\sqrt{2} =2r$

Osservazioni:

se E coincidesse con H e quindi D con G, avremmo AE=AH, nonché ED=GH=CH; per cui nella 1) dovrebbe essere: $\frac{r}{2}+\frac{r}{2}sqrt{3}sqrt{2}=2r$,
il che non è vero, risultando il primo membro della 1) minore del secondo.

Dunque, dobbiamo considerare AE > AH, ma quanto può crescere AE ? Poniamo che sia AE = AO: in tal caso, avremmo AE=r con ED=OF=r,
per cui nella 1) sarebbe: $r + r\cdot sqrt{2} > 2r$ (troppo)

Si deduce che deve essere AH < AE < AO, ove ad ogni AE corrisponde un diverso ED e in definitiva un diverso valore del primo membro della 1).
Necessita allora individuare l’angolo $\alpha$ tale che sia verificata la 1).
Ritornando quindi alla figura di cui sopra e ponendo r=1, troviamo che:

$CE = \frac{CH}{cos{\alpha}} = \frac{\sqrt{3}}{2cos{\alpha}}$, ove $0 < \alpha < 30^{o}$

CD = $2cos{\beta} = 2cos{(30^{o}-\alpha)}$
ED = CD - CE
$AE = AH + HE = \frac{1}{2} + CE \sin {\alpha}$

Quando $AE + ED\sqrt{2} = 2$ per un certo $\alpha$ e conseguentemente per un certo $\beta$, sarà $FD = 2 \sin{\beta}$ che renderà nota la posizione di D.

Il compito di individuare il valore di FD approssimato alla quinta cifra decimale lo lascio al Decimal Basic, come qui di seguito:

OPTION ANGLE DEGREES
LET alfamax=30
LET incr = alfamax/100000
LET rad2=SQR(2)
LET rad3=SQR(3)

FOR alfa = incr TO alfamax STEP incr
LET beta = 30-alfa
LET CD=2*COS(beta)
LET CE=rad3/2*COS(alfa)
LET AE=0.5 + CE*SIN(alfa)
LET ED=CD-CE
LET S=AE+ED*rad2
IF ABS(S-2)<= 0.00001 THEN
LET FD=2*SIN(beta)
PRINT "FD =";FD
END IF
NEXT ALFA
PRINT
PRINT "fine"
END

Risultato : FD = 0,77505(0480318407)

Bravo Pasquale


Questo è stato il mio approccio.


I triangoli ACE e DEB sono simili (due angoli sono opposti al vertice e gli altri insistono sugli stessi archi).
L'angolo in A e quello in D hanno l'ampiezza di 60° (A, C e il centro della circonferenza delimitano un triangolo equilatero, dal momento che AC è pari al raggio).
L'uguaglianza posta dal problema comporta che ED$\cdot \small \sqrt{2}$ = EB.
Utilizzando il teorema di seni, giusto per indicare un metodo, si trova facilmente che il seno dell'angolo in B (o in C) è uguale a $\frac{\sqrt{6}}{4}$, valore che corrisponde approssimativamente a un angolo di 37,76°.
Noto il seno $\frac{\sqrt{6}}{4}$, si deduce immediatamente il coseno $\frac{\sqrt{10}}{4}$.
Dunque, DB = AB$\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}$ = r$\cdot\frac{\sqrt{10}}{2}\;$ (ABD è un triangolo rettangolo) e la posizione del punto D è determinata.
Ovviamente, si può considerare anche il segmento AD.
Se F è la proiezione ortogonale del punto D su AB, si osserva che FB è $\frac{5}{8}$ di AB.

Bella: un tipo di soluzione che avevo cercato in prima battuta, ma mi mancava sempre qualcosa da confrontare.
Quindi ho deciso di passare al calcolo col Decimal, ma anche questo non è stato facile.
Comunque, un problema bello e divertente. Non vorrei esagerare, ma.....galeotto fu il libro e chi lo fece.