Ecco i due cilindri in questione
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Ma, attenzione! Anche se non siamo abituati a dare significato a dimensioni negative ecco che cosa succede con il rapporto $h/r$ pari a $\frac{\sqrt{17}+3}4$
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P.S.: io l'avevo risolto così
I cilindri sono simili, cioè hanno uguale rapporto tra raggio e altezza
$\displaystyle\frac{r_1}{h_1}=\frac{r_2}{h_2}=\alpha$
La somma delle altezze vale $1$
$\displaystyle h_1+h_2=1$
La somma delle superfici totali vale $8\pi$
$\displaystyle S_1+S_2=8\pi$
La somma dei volumi vale $2\pi$
$\displaystyle V_1+V_2=2\pi$
La superficie totale di un cilindro vale
$\displaystyle S=2\pi r\cdot h + 2\cdot \pi r^2=2\pi\alpha\left(\alpha+1\right)h^2$
Il volume di un cilindro vale
$\displaystyle V=\pi r^2\cdot h=\pi\alpha^2 h^3$
Combinando queste informazioni, con facile algebra, otteniamo
$\displaystyle\left\{
\begin{array}{lC}
h_1+h_2=1 \\
h_1^2+h_2^2=\frac4{\alpha^2+\alpha} \\
h_1^3+h_2^3=\frac2{\alpha^2}
\end{array}
\right.$
Sviluppiamo la somma di cubi
$\displaystyle h_1^3+h_2^3=\left(h_1+h_2\right)\left(h_1^2+h_2^2-h_1 h_2\right)$
e osserviamo che le tre somme si combinano per dare $h_1 h_2=C$ con $C=\frac4{\alpha^2+\alpha} - \frac2{\alpha^2}$: abbiamo dunque
$\displaystyle\left\{
\begin{array}{lC}
h_1+h_2=1 \\
h_1 h_2=C
\end{array}
\right.$
col che $h_1$ e $h_2$ sono le soluzioni dell’equazione
$\displaystyle h^2-h+C=0$
ovvero
$\displaystyle h_1=\frac{1+\sqrt{1-4C}}2$
e
$\displaystyle h_2=\frac{1-\sqrt{1-4C}}2$
Sostituiamo le due soluzioni in
$\displaystyle h_1^2+h_2^2=\frac4{\alpha^2+\alpha}$
e otteniamo, dopo i soliti “pochi passaggi di facile algebra”, l’equazione
$\displaystyle \alpha^3+\alpha^2-8\alpha+4=0$
le cui soluzioni sono (vi risparmio i “pochi passaggi di facile algebra”) $-\frac{\sqrt{17}+3}2$, $\frac{\sqrt{17}-3}2$ e $2$.
La prima soluzione è negativa quindi è inutilizzabile come rapporto di grandezze assolute; la seconda da luogo a $h_1 > 1$, e quindi a $h_2 < 0$.
Con $\alpha=2$ otteniamo $h_1=\frac{3+\sqrt{3}}6$ e $h_1=\frac{3-\sqrt{3}}6$
N.B. che il mio rapporto è inverso rispetto a quello di Bruno