BASE CINQUE FORUM

La somma delle altezze di due cilindri simili (*) è pari a 1, la somma delle loro superfici (comprese le basi circolari) è pari a 8π e la somma dei loro volumi è pari a 2π.
Dimostrare che esiste un'unica soluzione per le dimensioni dei cilindri.

(*) per simili si intende che hanno lo stesso rapporto fra raggio di base e altezza.

diophante.fr D365

Direi così.
a è il rapporto fra l'altezza e il raggio di ciascun cilindro.
Quindi, chiamati x e y i raggi:
(i) a·(x + y) = 1
esprime la prima condizione.
La terza condizione (riguardante i volumi) diventa:
a·(x³ + y³) = a·(x + y)·[(x+y)² - 3·x·y] = 2
ossia, utilizzando (i):
1/a² - 3·x·y = 2,
da cui si ottiene:
(ii) x·y = 1/(3·a²) - 2/3.
Poiché il primo membro è positivo, bisogna che sia a < $\large \frac{\sqrt{2}}{2}$.
La seconda condizione (riguardante le superfici totali) porta a:
(a + 1)·(x² + y²) = (a + 1)·[(x + y)² - 2·x·y] = 4
cioè, applicando (i) e (ii):
(a + 1)·[1/a² - 2/(3·a²) + 4/3] = (a + 1)·[1/(3·a²) + 4/3] = 4.
Dall'ultima uguaglianza si ricava questa:
4·a³ - 8·a² + a + 1 = 0
la quale può essere riscritta nel modo seguente:
(2·a - 1)·(2·a² - 3·a -1) = 0,
che porge le tre radici:
$ \large \frac 12$, $\, \large \frac 34 + \frac{\sqrt{17}}{4}$, $\, \large \frac 34 - \frac{\sqrt{17}}{4}$.
L'ultima non può essere accettata perché è negativa.
La seconda non può essere accettata perché è maggiore di $\, 1$, di conseguenza non è minore di $\large \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Rimane allora la prima radice, ciò vuol dire che l'altezza di ciascun cilindro è metà del relativo raggio.
Dunque, ponendo a = $\large \frac 12$ in (i) e (ii), si trovano immediatamente:
x+y = $\, \small 2$
x·y = $\, \large \frac 23$
e tale sistema di equazioni è soddisfatto per $\,\small{1} ± \large \frac{\sqrt{3}}{3}$, valori attribuibili ai raggi dei due cilindri simili.

Mi sembra che fili tutto come un fuso

Volendo si potrebbe tradurre tutto in Francese e mandare la soluzione agli amici transalpini che (inconsciamente direi ...) mi forniscono spesso spunti per problemi interessanti.

Io però riesco a leggere e capire discretamente il Francese ma assolutamente non sono in grado di scriverlo correttamente; escludo che mia figlia sia disponibile a collaborare e quindi mi sa che ci teniamo per noi questa bella soluzione.

ciao

Franco

Meraviglioso!! Avevo provato a ridurre il tutto ad una sola variabile, naturalmente senza successo.

Avrebbe detto qualcuno di nostra conoscenza:

ECCEZZZIUNAL VERAMENT !!!!!

Ecco i due cilindri in questione
Ma, attenzione! Anche se non siamo abituati a dare significato a dimensioni negative ecco che cosa succede con il rapporto $h/r$ pari a $\frac{\sqrt{17}+3}4$


P.S.: io l'avevo risolto così

I cilindri sono simili, cioè hanno uguale rapporto tra raggio e altezza

$\displaystyle\frac{r_1}{h_1}=\frac{r_2}{h_2}=\alpha$

La somma delle altezze vale $1$

$\displaystyle h_1+h_2=1$

La somma delle superfici totali vale $8\pi$

$\displaystyle S_1+S_2=8\pi$

La somma dei volumi vale $2\pi$

$\displaystyle V_1+V_2=2\pi$

La superficie totale di un cilindro vale

$\displaystyle S=2\pi r\cdot h + 2\cdot \pi r^2=2\pi\alpha\left(\alpha+1\right)h^2$

Il volume di un cilindro vale

$\displaystyle V=\pi r^2\cdot h=\pi\alpha^2 h^3$

Combinando queste informazioni, con facile algebra, otteniamo

$\displaystyle\left\{
\begin{array}{lC}
h_1+h_2=1 \\
h_1^2+h_2^2=\frac4{\alpha^2+\alpha} \\
h_1^3+h_2^3=\frac2{\alpha^2}
\end{array}
\right.$

Sviluppiamo la somma di cubi

$\displaystyle h_1^3+h_2^3=\left(h_1+h_2\right)\left(h_1^2+h_2^2-h_1 h_2\right)$

e osserviamo che le tre somme si combinano per dare $h_1 h_2=C$ con $C=\frac4{\alpha^2+\alpha} - \frac2{\alpha^2}$: abbiamo dunque

$\displaystyle\left\{
\begin{array}{lC}
h_1+h_2=1 \\
h_1 h_2=C
\end{array}
\right.$

col che $h_1$ e $h_2$ sono le soluzioni dell’equazione

$\displaystyle h^2-h+C=0$

ovvero

$\displaystyle h_1=\frac{1+\sqrt{1-4C}}2$

e

$\displaystyle h_2=\frac{1-\sqrt{1-4C}}2$

Sostituiamo le due soluzioni in

$\displaystyle h_1^2+h_2^2=\frac4{\alpha^2+\alpha}$

e otteniamo, dopo i soliti “pochi passaggi di facile algebra”, l’equazione

$\displaystyle \alpha^3+\alpha^2-8\alpha+4=0$

le cui soluzioni sono (vi risparmio i “pochi passaggi di facile algebra”) $-\frac{\sqrt{17}+3}2$, $\frac{\sqrt{17}-3}2$ e $2$.

La prima soluzione è negativa quindi è inutilizzabile come rapporto di grandezze assolute; la seconda da luogo a $h_1 > 1$, e quindi a $h_2 < 0$.

Con $\alpha=2$ otteniamo $h_1=\frac{3+\sqrt{3}}6$ e $h_1=\frac{3-\sqrt{3}}6$

N.B. che il mio rapporto è inverso rispetto a quello di Bruno