Un problema MOLTO carino sul triangolo

[Br1]

Benvenuta, Roberta, anche da parte mia,
con il mathmuminvito a non mollarci

[roberta]

Davvero grazie per l'accoglienza.
Date un'occhiatina al mio problema?
Sono bloccata!
Un caro saluto
roberta

[Tino]

Ciao Roberta!

Ti auguro anch'io di affezionarti a questo sito.

Nel frattempo, mentre cerco di aiutarti in questo particolare caso, mi piacerebbe che tu mi giustificassi meglio le affermazioni che ho segnato in grassetto:

Per il teorema di Tolomeo generalizzato:
BP*CD+PC*BD>=BC*PD
Essendo ABC equilatero posso scrivere:
BP+PC>=PD
Sommo PA ad entrambi i termini:
PA+PB+PC>=PA+PD
Ovviamente PA+PD>=DA
Quindi, se P non appartiene al segmento AD allora PA+PB+PC>=PA+PD>DA
Ma se P appartiene al segmento AD allora PA+PB+PC>=PA+PD=DA
Quindi, per minimizzare PA+PB+PC dovrà essere P appartenente al segmento DA
In tal caso sarà PA+PB+PC>=PA+PD=DA
Per minimizzare totalmente PA+PB+PC dovrò avere = al posto del >= nella riga precedente.
Questo accade solo se P appartiene alla circonferenza circoscritta al triangolo equilatero BCD e al segmento AD.

Prima affermazione: sono convinto che sia corretta ma non lo vedo in modo immediato (è sottointeso che intendevi il triangolo BCD, non ABC).

Seconda affermazione: questo non mi è chiaro. Direi piuttosto che il punto P sarà ottenuto intersecando le tre rette ottenute congiungendo ogni vertice al vertice più lontano del triangolo equilatero costruito sul lato opposto.. no?

Grazie mille.

[roberta]

La prima tua osservazione è corretta: il triangolo equilatero è BCD e non ABC (sorry!)
Per quanto riguarda la tua seconda osservazione, le costruzioni sono equivalenti. Il punto P è costruibile con la costruzione di Fermat-Torricelli (quella dei triangoli equilateri appoggiati sui lati di ABC ed esterni ad esso) per un triangolo il cui angolo maggiore è <= 120° oppure con il metodo che ho descritto. Il punto P risulta sulla cfr circoscritta a BCD perchè così:
BP*CD+PC*BD=BC*PD (teorema di Tolomeo)
BP+PC=PD (essendo BCD equilatero)
PA+PB+PC=PA+PD

Se P sta anche su AD accade che PA+PD=DA
Quindi, se P sta sulla cfr circoscritta a BCD e su AD allora PA+PB+PC è minimo

Il vantaggio di questa costruzionè è che è applicabile anche quando i costi "a", "b", "c" non sono tra loro uguali. L'unico limite all'applicazione di questa costruzione è che, supponendo "a" il costo max, deve accadere che a<=b+c

Un caro saluto
roberta

[panurgo]

Ma questo non è un problema dato che, se a > b + c, il punto P coincide con A: sto lavorando alla dimostrazione

[Tino]

Accidenti
Roberta, ti sembrerà pazzesco ma il motivo per cui non capivo le tue affermazioni è che ognuna di esse mi pareva a sé stante, scollegata dalle precedenti. Ciò è strano, non mi era mai capitato.

Le mie domande devono esserti sembrate sceme

Mi aggiorno.

[panurgo]

Ma questo non è un problema dato che, se a > b + c, il punto P coincide con A: sto lavorando alla dimostrazione

Con riferimento alla figura, valgono le relazioni

$\overline {\text BP} \/ > \/ \overline {\text BP^{\script '}} \qquad \Rightarrow \qquad b \/ \overline {\text BP} \/ > \/ b \/ \overline {\text BP^{\script '}} \\ \overline {\text CP} \/ > \/ \overline {\text CP^{\script ''}} \qquad \Rightarrow \qquad c \/ \overline {\text CP} \/ > \/ c \/ \overline {\text CP^{\script ''}} \\\left { \overline {\text AP} \/ = \/ \overline {\text AP^{\script '}} \/ = \/ \overline {\text AP^{\script ''}} \\ a \/ > \/ b \/ + \/ c \right . \qquad \Rightarrow \qquad a \/ \overline {\text AP} \/ > \/ b \/ \overline {\text AP^{\script '}} \/ + \/ c \/ \overline {\text AP^{\script ''}}$

e dato che è

$\overline {\text AP^{\script '}} \/ + \/ \overline {\text BP^{\script '}} \/ = \/ \overline {\text AB} \\ \overline {\text AP^{\script ''}} \/ + \/ \overline {\text CP^{\script ''}} \/ = \/ \overline {\text AC}$

ne consegue che

$a \/ \overline {\text AP} \/ + \/ b \/ \overline {\text AP^{\script '}} \/ + \/ c \/ \overline {\text AP^{\script ''}} \/ > \/ b \/ \overline {\text AB} \/ + \/ c \/ \overline {\text AC}$

[roberta]

Panurgo, aiuto! Come riesce la tua conclusione a dimostrare che P deve coincidere con A (sempre supponendo "a" spesa max ed inoltre a>b+c)?
Nell'ultima riga, la quantità a*PA+b*AP'+c*AP'' è minorata da b*AB+c*AC.
Quindi non mi è permesso prendere P = A perchè allora scenderei sotto b*AB+c*AC.
Non riesco ad afferrare il passaggio

grazie mille
roberta

[panurgo]

ne consegue che

$a \/ \overline {\text AP} \/ + \/ b \/ \overline {\text AP^{\script '}} \/ + \/ c \/ \overline {\text AP^{\script ''}} \/ > \/ b \/ \overline {\text AB} \/ + \/ c \/ \overline {\text AC}$

Scusa, ho sbagliato a scrivere

$b \/ \overline {\text BP} \/ > \/ b \/ \overline {\text BP^{\script '}} \\ c \/ \overline {\text CP} \/ > \/ c \/ \overline {\text CP^{\script ''}} \\ a \/ \overline {\text AP} \/ > \/ b \/ \overline {\text AP^{\script '}} \/ + \/ c \/ \overline {\text AP^{\script ''}}$

da cui segue

$a \/ \overline {\text AP} \/ + \/ b \/ \overline {\text BP} \/ + \/ c \/ \overline {\text CP} \/ > \/ b \/ \overline {\text AB} \/ + \/ c \/ \overline {\text AC}$

[roberta]

GRAZIE MILLE^3
roberta

[panurgo]

Forse viene più intelleggibile con le proiezioni di AP, BP e CP su AB e AC

[roberta]

No no no .....
La tua spiegazione è perfetta cosi'!

complimenti