Dissezioni isoperimetriche di poligoni
Inviato: dom feb 17, 2019 7:56 am
Vogliamo dissezionare un poligono di (n+2) lati in triangoli. Conway e Guy nel loro “Il libro dei numeri” mostrano come tali dissezioni siano $c_n$, il numero di Catalan $c_n$.
Con n=2 abbiamo un quadrato con $c_2=2$ dissezioni. Indicando i vertici con le solite lettere maiuscole, in senso orario, abbiamo ABCD=quadrato e la prima dissezione si ottiene tracciando il segmento AC, la seconda tracciando il segmento BD. Se non consideriamo le lettere le 2 figure si ottengono l’una dall’altra tramite rotazione. Un’unica dissezione distinta.
Con n=3 abbiamo un pentagono con $c_3=5$ dissezioni. Abbiamo ABCDE pentagono e le dissezioni sono ottenute tracciando i segmenti AC e AD, BD e BE, CE e CA, DA e DB, EB ed EC. Anche qui se non consideriamo le lettere le 5 figure si ottengono l’una dall’altra tramite rotazione. Un’unica dissezione distinta.
Con n=4 abbiamo un esagono e quindi $c_4=14$ dissezioni, ma stavolta 3 distinte.
Dato n si calcola facilmente che il numero di segmenti che formano la dissezione è:
s=2n+1
mentre il numero di triangoli di cui è composta la dissezione è:
t=n
Se ad ogni segmento assegniamo un numero (lunghezza) da 1 a (2n+1), ad ogni segmento un numero diverso, diciamo che la dissezione è isoperimetrica se gli n triangoli hanno tutti lo stesso perimetro. Nella figura sotto vediamo degli esempi di dissezioni isoperimetriche per poligoni di 4, 5, 6 e 7 lati.
Con n=5 abbiamo un ettagono e 4 distinte dissezioni indicate in figura con le lettere D1, D2, D3 e D4. Nella D1 ho già messo dei possibili valori di lunghezza degli spigoli facendo sì che tutti i 5 triangoli abbiano perimetro uguale a 17.
Le ultime 3 dissezioni hanno una curiosa proprietà:
indicando con $T_j$={$a_j,b_j,c_j$} per j=(1,2,…,5) il generico triangolo di D2 i cui lati sono $a_j$, $b_j$ e $c_j$ possiamo usare queste 5 triple per numerare D3 e D4. In parole povere, se per esempio {3,8,10} sono i lati di un triangolo di D2, anche D3 e D4 hanno un triangolo con tali lati.
Problema 1: trovare una dissezione isoperimetrica di D2 e applicarla a D3 e D4
Problema 2: trovare della dissezioni isoperimetriche per n=6, cioè per l’ottagono.
Con n=2 abbiamo un quadrato con $c_2=2$ dissezioni. Indicando i vertici con le solite lettere maiuscole, in senso orario, abbiamo ABCD=quadrato e la prima dissezione si ottiene tracciando il segmento AC, la seconda tracciando il segmento BD. Se non consideriamo le lettere le 2 figure si ottengono l’una dall’altra tramite rotazione. Un’unica dissezione distinta.
Con n=3 abbiamo un pentagono con $c_3=5$ dissezioni. Abbiamo ABCDE pentagono e le dissezioni sono ottenute tracciando i segmenti AC e AD, BD e BE, CE e CA, DA e DB, EB ed EC. Anche qui se non consideriamo le lettere le 5 figure si ottengono l’una dall’altra tramite rotazione. Un’unica dissezione distinta.
Con n=4 abbiamo un esagono e quindi $c_4=14$ dissezioni, ma stavolta 3 distinte.
Dato n si calcola facilmente che il numero di segmenti che formano la dissezione è:
s=2n+1
mentre il numero di triangoli di cui è composta la dissezione è:
t=n
Se ad ogni segmento assegniamo un numero (lunghezza) da 1 a (2n+1), ad ogni segmento un numero diverso, diciamo che la dissezione è isoperimetrica se gli n triangoli hanno tutti lo stesso perimetro. Nella figura sotto vediamo degli esempi di dissezioni isoperimetriche per poligoni di 4, 5, 6 e 7 lati.
Con n=5 abbiamo un ettagono e 4 distinte dissezioni indicate in figura con le lettere D1, D2, D3 e D4. Nella D1 ho già messo dei possibili valori di lunghezza degli spigoli facendo sì che tutti i 5 triangoli abbiano perimetro uguale a 17.
Le ultime 3 dissezioni hanno una curiosa proprietà:
indicando con $T_j$={$a_j,b_j,c_j$} per j=(1,2,…,5) il generico triangolo di D2 i cui lati sono $a_j$, $b_j$ e $c_j$ possiamo usare queste 5 triple per numerare D3 e D4. In parole povere, se per esempio {3,8,10} sono i lati di un triangolo di D2, anche D3 e D4 hanno un triangolo con tali lati.
Problema 1: trovare una dissezione isoperimetrica di D2 e applicarla a D3 e D4
Problema 2: trovare della dissezioni isoperimetriche per n=6, cioè per l’ottagono.