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Dissezioni isoperimetriche di poligoni

Inviato: dom feb 17, 2019 7:56 am
da giobimbo
Vogliamo dissezionare un poligono di (n+2) lati in triangoli. Conway e Guy nel loro “Il libro dei numeri” mostrano come tali dissezioni siano $c_n$, il numero di Catalan $c_n$.
Con n=2 abbiamo un quadrato con $c_2=2$ dissezioni. Indicando i vertici con le solite lettere maiuscole, in senso orario, abbiamo ABCD=quadrato e la prima dissezione si ottiene tracciando il segmento AC, la seconda tracciando il segmento BD. Se non consideriamo le lettere le 2 figure si ottengono l’una dall’altra tramite rotazione. Un’unica dissezione distinta.
Con n=3 abbiamo un pentagono con $c_3=5$ dissezioni. Abbiamo ABCDE pentagono e le dissezioni sono ottenute tracciando i segmenti AC e AD, BD e BE, CE e CA, DA e DB, EB ed EC. Anche qui se non consideriamo le lettere le 5 figure si ottengono l’una dall’altra tramite rotazione. Un’unica dissezione distinta.
Con n=4 abbiamo un esagono e quindi $c_4=14$ dissezioni, ma stavolta 3 distinte.

Dato n si calcola facilmente che il numero di segmenti che formano la dissezione è:
s=2n+1
mentre il numero di triangoli di cui è composta la dissezione è:
t=n

Se ad ogni segmento assegniamo un numero (lunghezza) da 1 a (2n+1), ad ogni segmento un numero diverso, diciamo che la dissezione è isoperimetrica se gli n triangoli hanno tutti lo stesso perimetro. Nella figura sotto vediamo degli esempi di dissezioni isoperimetriche per poligoni di 4, 5, 6 e 7 lati.
dissezioni.png
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Con n=5 abbiamo un ettagono e 4 distinte dissezioni indicate in figura con le lettere D1, D2, D3 e D4. Nella D1 ho già messo dei possibili valori di lunghezza degli spigoli facendo sì che tutti i 5 triangoli abbiano perimetro uguale a 17.
Le ultime 3 dissezioni hanno una curiosa proprietà:
indicando con $T_j$={$a_j,b_j,c_j$} per j=(1,2,…,5) il generico triangolo di D2 i cui lati sono $a_j$, $b_j$ e $c_j$ possiamo usare queste 5 triple per numerare D3 e D4. In parole povere, se per esempio {3,8,10} sono i lati di un triangolo di D2, anche D3 e D4 hanno un triangolo con tali lati.
Problema 1: trovare una dissezione isoperimetrica di D2 e applicarla a D3 e D4
Problema 2: trovare della dissezioni isoperimetriche per n=6, cioè per l’ottagono.

Re: Dissezioni isoperimetriche di poligoni

Inviato: mar feb 19, 2019 12:08 am
da Gianfranco
giobimbo ha scritto:
dom feb 17, 2019 7:56 am
Problema 1: trovare una dissezione isoperimetrica di D2 e applicarla a D3 e D4
Problema 2: trovare della dissezioni isoperimetriche per n=6, cioè per l’ottagono.
Non so se ho capito. Ci provo.
Per affrontare il problema, mi è stata utile la rappresentazione con un grafo.
I tre numeri in ogni triangolo nel grafo devono avere sempre la stessa somma.
Ecco una soluzione facile di D2.
isop2.png
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Lo stesso grafo va bene anche per D3 e D4 perché la situazione è analoga, cioè abbiamo 5 triangoli in sequenza uniti a due a due per un lato.
Ecco la stessa soluzione applicata a D3.
isop4.png
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La figura D1 invece ha una struttura diversa.
isop1.png
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Per quel che riguarda l'ottagono ho ripreso pigramente lo stesso tipo di grafo.
isop3.png
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All'inizio, la parola "isoperimetrici" mi ha un po' confuso. I numeri infatti non indicano possibili misure dei lati di triangoli, a meno che non siamo in una mappa con una strana metrica, tipo quella di una metropolitana. In questo caso i triangoli potrebbero anche non essere triangoli...
Giobimbo, perché hai scelto di chiamarle "dissezioni isoperimetriche"?

Re: Dissezioni isoperimetriche di poligoni

Inviato: mar feb 19, 2019 4:47 pm
da Bruno
L'approccio di Gianfranco è simile a quello che ho seguito io, un onore :D

Per il primo problema ho anche trovato un 'perimetro' minore.

Giobimbo_di.jpg
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Re: Dissezioni isoperimetriche di poligoni

Inviato: mer feb 20, 2019 7:52 am
da giobimbo
@Gianfranco: Ho scelto quel titolo perché scrivere “Dissezioni di poligoni in triangoli aventi lo stesso perimetro” mi sembrava troppo lungo e pomposo; inoltre
giobimbo ha scritto:
dom feb 17, 2019 7:56 am
Se ad ogni segmento assegniamo un numero (lunghezza) da 1 a (2n+1), ad ogni segmento un numero diverso, diciamo che la dissezione è isoperimetrica se gli n triangoli hanno tutti lo stesso perimetro.
quindi se il numero associato al segmento fosse considerato come sua “lunghezza” direi che è lecito parlare di “perimetro” a+b+c per una figura formata dai 3 segmenti a, b e c.

@tutti: ci sono molti possibili perimetri, il loro numero cresce al crescere di n, anche se non in rapporto diretto, poi sta a noi sceglierne alcuni speciali quali il minimo, il massimo, quello coi lati tutti dispari, eccetera, ma non ve li ho richiesti per non scoraggiare eventuali risposte. Ovviamente, come per Bruno, tali soluzioni sono le benvenute.

Bene ha fatto Gianfranco a costruire il grafo con i punti interni dei triangoli, è così che ho scoperto la curiosa proprietà di D2, D3 e D4; se avesse fatto il grafo anche dei primi 2 esagoni del mio esempio avrebbe scoperto che tale proprietà vale anche per loro.
Prendendo come esempio n=5, l’ettagono, se etichettiamo i vertici con le lettere da A a G abbiamo 42 figure distinte; se non consideriamo le lettere abbiamo 4 figure distinte, se pensiamo alle dissezioni come insiemi connessi di triangoli appiccicati insieme abbiamo 2 figure distinte. Tre livelli di astrazione, dal più fine al più generico, la struttura delle dissezioni (fin dove sono arrivato) si rivela più ricca di quel che sembrava.

Re: Dissezioni isoperimetriche di poligoni

Inviato: gio feb 21, 2019 2:22 pm
da Gianfranco
@Bruno, in questo Forum siamo tutti onorati di stare in così buona compagnia.
Mi piacerebbe che il dialogo si allargasse a molti altri frequentatori, perché noto che spesso ci sono 15-20 ospiti connessi (è un dato attendibile?)

@Giobimbo, il mio dubbio non è sulla parola "isoperimetrici" che va benissimo, ma sul fatto che si possa parlare di perimetro. Infatti terne come 6, 9, 2 o 11, 1, 5 non possono rappresentare misure dei lati di un triangolo con la metrica usuale.

Re: Dissezioni isoperimetriche di poligoni

Inviato: gio feb 21, 2019 7:23 pm
da giobimbo
Ahhhh...desso capisco perché parlavi di strana metrica, pensavi che il mio fosse un problema di geometria euclidea. No, benché coinvolga alcune branche della matematica, essenzialmente è un gioco, che spero sia stato interessante.

Re: Dissezioni isoperimetriche di poligoni

Inviato: ven feb 22, 2019 6:08 pm
da Gianfranco
giobimbo ha scritto:
gio feb 21, 2019 7:23 pm
... pensavi che il mio fosse un problema di geometria euclidea. No, benché coinvolga alcune branche della matematica, essenzialmente è un gioco, che spero sia stato interessante.
Grazie Giobimbo, il gioco è interessante e credo che possa avere sviluppi matematici significativi.

A una prima lettura ho pensato di essere nella geometria euclidea. Infatti esistono problemi in cui si chiede di dividere un poligono in parti equivalenti e isoperimetriche.
Ma vedendo i numeri scritti nei poligoni ho avuto le prime perplessità.
Allora ho pensato che i disegni rappresentassero grafi con una metrica particolare oppure che i segmenti non rappresentassero davvero tratti di retta.
Mi è venuta in mente una affascinante lezione di Alessandro Baricco sulla cartina della metropolitana di Londra (è una delle Mantova Lectures disponibile su RaiPlay).
Per dare l'idea, riporto la mappa "astratta" a confronto con una più "realistica".
metro1.PNG
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Nella mappa "astratta", anche il Tamigi ha un andamento "angoloso"!
metro2.PNG
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