BASE CINQUE FORUM

Nella sede centrale del Banco del Marghine c'è una cassaforte protetta con un codice alfanumerico composto da $N$ caratteri e un sistema d'apertura comandato con carte magnetiche che comprendono tutto il codice o parte di esso.
Solo il Direttore ha la carta magnetica con il codice completo.
In sua assenza, la cassaforte può essere aperta utilizzando contemporaneamente:

• La carta in possesso del Vicedirettore e una qualunque di quelle in possesso dei 4 Cassieri, oppure

• Le carte magnetiche di tre Cassieri su quattro,

Qual è il più basso valore possibile di $N$ ?

Nonostante queste precauzioni, gli azionisti della banca decidono di proteggersi ulteriormente approfittando del fatto che si sta anche ampliando l'organico:
Il Direttore avrà sempre la carta col codice completo e sarà coadiuvato da 2 Vicedirettori e 5 Cassieri con carte magnetiche incomplete tali che, per aprire la cassaforte in sua assenza serva la presenza di:

• Entrambi i Vicedirettori, oppure

• Uno dei Vicedirettori e uno qualunque dei Cassieri, oppure

• Quattro Cassieri su cinque.

Qual è il più basso valore possibile di $N$ ?


diophante.fr E613

E' facile che non abbia capito il quesito e dunque chiedo lumi.
Intanto, dico come ho capito il 1° quesito:

Il direttore ha un codice di N caratteri
I caratteri del codice del vicedirettore sommati a quelli del codice di un qualsiasi Cassiere sono N e quindi ogni Cassiere ha il codice uguale a quello degli altri 3
La somma dei caratteri dei codici di 3 Cassieri ammonta a N caratteri

Se l'ho capita giusta, posti:

V = numero caratteri del codice del Vicedirettore
C = numero caratteri del codice di un qualsiasi Cassiere
N = numero caratteri del codice completo

avremmo che:

N = V + C
N = 3C

da cui: V = 2C

Se al minimo 1 solo è il carattere del codice di un Cassiere, allora V=2 ed N=3 sarebbe il minimo richiesto.

Se così è, il primo quesito funge da esempio per una migliore comprensione del secondo?

Non è così.

I cassieri sono 4 e per avere il codice completo ne bastano 3 a caso.
Se i caratteri fossero solo 3 (ad esempio A B C) risulterebbe una distribuzione tipo A A B C.
Se i primi 3 cassieri provano a aprire gli manca il carattere C per completare il codice.

Mi aspetto che ognuno di loro abbia più pezzi del codice ... e eventualmente più cassieri possono anche avere parti di codice in comune.
Non è difficile

Va bene. Avevo pensato che i 4 cassieri avessero tutti lo stesso codice, in quanto il codice di uno qualsiasi di loro, unito a quello del Vice, avrebbe dovuto corrispondere a quello del direttore, così come i codici di 3 qualsiasi cassieri. Da cui, un minimo di N avrebbe potuto corrispondere ad esempio a 999 :

Codice Direttore = 999
Codice Vice = 99
Codice di ogni Cassiere = 9

Da cui la necessità del quesito, considerata l'eccessiva semplicità del risultato.

Avrei molte perplessità ad affidare i miei risparmi ad una banca che protegge la cassaforte con un codice come quello ...

Scherzi a parte, effettivamente non l'ho specificato nel testo ma gli N caratteri del codice di apertura sono dutti diversi fra loro.

Sono comunque accettate "sovrapposizioni".
Se, ad esempio, il codice di apertura fosse A-B-C potrebbe essere aperto con una carta che contiene la coppia A-B e un'altra carta che contiene la coppia B-C: l'importante è che compaiano tutti i caratteri almeno una volta nell'insieme delle carte magnetiche usate per attivare la serratura.

Visto che il problema non ha riscosso molto interesse posto la soluzione al primo quesito, magari così vien voglia di provare a risolvere il secondo
Direi che è abbastanza autoesplicativo.
Sono sufficienti 5 caratteri.
Il direttore li ha tutti, al vice ne manca solo uno che però è in possesso a tutti i cassieri.
Gli altri 4 caratteri sono distribuiti fra i cassieri in modo tale che se due fossero assenti c'è sempre un buco nella combinazione.

Ops ...

Avevo tenuto in un cassetto la tabellina di cui sopra per diverse settimane e solo ieri sera mi ci è caduto l'occhio per caso e ho scoperto che è sbagliata!!!
Con quella configurazione, sarebbe possibile aprire la cassaforte con la sola presenza dei cassieri 1 e 3 (oppure 2 e 4).
La soluzione corretta è questa e prevede una combinazione con 7 caratteri!

Penso che potrebbe andare bene così:


( perché compare quella scritta sotto il disegno? )