Ricordo di aver già postato questa domanda ma nei miei messaggi non l'ho trovata e mi è stata chiesta da un amico.
Il quesito è questo: risolvere $\displaystyle\int e^{-x^2}\partial x$ e $\displaystyle\int\sin\(\frac1{x}\)\partial x$.
Il primo portava stranamente ad una soluzione definita $\(\sqrt\pi\)$, il secondo ad un rapporto di logaritmi.
Potreste ripostare le dimostrazioni?
Grazie da Info
Integrali particolari
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Il primo porta a una soluzione "definita", sì, ma quando ci metti opportuni estremi di integrazione 
La dimostrazione che conosco io usa l'integrazione in più variabili, in particolare i teoremi di Fubini-Tonelli. Omettendo le giustificazioni, il procedimento è questo:
$\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\int_0^{\infty} \int_0^{\infty} e^{-x^2-y^2}dxdy} = \sqrt{\int_0^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi} r e^{-r^2}drd\theta} = \sqrt{2\pi \int_0^{\infty} r e^{-r^2}dr} = \sqrt{2\pi [-\frac{1}{2}e^{-r^2}]_0^{\infty}} = \sqrt{\pi}$
La dimostrazione che conosco io usa l'integrazione in più variabili, in particolare i teoremi di Fubini-Tonelli. Omettendo le giustificazioni, il procedimento è questo:
$\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\int_0^{\infty} \int_0^{\infty} e^{-x^2-y^2}dxdy} = \sqrt{\int_0^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi} r e^{-r^2}drd\theta} = \sqrt{2\pi \int_0^{\infty} r e^{-r^2}dr} = \sqrt{2\pi [-\frac{1}{2}e^{-r^2}]_0^{\infty}} = \sqrt{\pi}$
Ultima modifica di Tino il lun lug 09, 2007 3:44 pm, modificato 1 volta in totale.
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
Complicated? Mais non. Of a simplicity extreme - extreme.
And miserable one that I am, I saw nothing - nothing."
(Peril At End House)
(mi ha preceduto 
)