(edit) Credevo di non aver trovato la soluzione, invece credo di averla trovata.
delfo52 ha scritto: ↑ven feb 01, 2019 5:39 pm
Prendiamo un vertice a caso. Vi convergono cinque facce.
La somma 39 può essere composta da varie combinazioni di numeri diversi da zero.
ce ne sono con cinque numeri diversi?
...
E' giusto, ma in questo caso bisogna anche tener conto che ogni faccia ha tre vertici, il che complica le cose.
Propongo di partire dalla mappa piana dell'icosaedro.
Ho colorato una faccia di giallo.
Immagino di scrivere un numero a in quella faccia.
Coloro di blu tutte le facce in cui non posso più scrivere il numero a.
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Coloro poi un'altra faccia di giallo tra quelle rimaste, vi scrivo il numero a e procedo come prima fino ad aver colorato tutte le facce di blu o giallo.
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Osservo che un dato numero si può scrivere al massimo in 4 facce.
Per sapere se si possono scrivere, con questo criterio, dei numeri la cui somma è 39 devo considerare le partitizioni intere di 39 (più lo zero).
O meglio, le partizioni formate da 20 addendi perché l'icosaedro ha 20 facce.
Devo trovare se esiste una partizione formata da numeri ripetuti NON PIU' di 4 volte.
a) se considero soltanto le partizioni intere (numeri >0) posso verificare che NON ESISTE una partizione di 20 addendi che soddisfa le condizioni.
b) se scrivo il numero 0 su quattro facce, allora posso considerare le partizioni intere formate da 20-4=16 numeri.
Ecco, non esiste neppure in questo caso (ricerca esaustiva col computer).
c) Se invece la somma fosse 40, questa è la soluzione unica, come accennato da Franco:
0,0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4
(edit) d) Se vogliamo ottenere 39, dobbiamo diminuire di una unità uno dei numeri, il che ci porta ad avere 5 numeri uguali.
Quindi nell'icosaedro avremo 2 numeri uguali su due facce che si toccano per un vertice.
Principio dei cassetti.
Ecco un disegno bianco per fare delle prove.
- mappa_icosaedro.png (15.69 KiB) Visto 5800 volte