Dovendo cercare un modo per costruire un’ellisse circoscritta ho pensato che, se un cerchio e un’ellisse che lo contiene sono tangenti nel punto P vuol dire che, in quel punto, devono essere tangenti alla stessa retta.
- EllisseCircoscritta640x256.png (22.39 KiB) Visto 4293 volte
Consideriamo il cerchio, di centro $\left(l;0\right)$ e raggio $r$, di equazione
$\displaystyle\left(x-l\right)^2+y^2=r^2$
e l’ellisse di equazione
$\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
tangenti nel punto $P\equiv\left(x_0;y_0\right)$.
Per ciascuno dei due scriviamo l’equazione della tangente utilizzando le formule dello sdoppiamento: per l’ellisse sostituiamo direttamente
$\begin{array}{|c|C}\hline
\displaystyle\frac{x_0}{a^2} x + \frac{y_0}{b^2} y = 1
\\\hline\end{array}$
mentre per il cerchio scriviamo prima l’equazione in forma normale
$\displaystyle x^2+y^2-2lx+l^2-r^2=0$
ed effettuiamo le sostituzioni
$\displaystyle x_0 x+y_0 y-2l\frac{x +x_0}2+l^2-r^2=0$
ovvero
$\displaystyle \left(x_0-l\right) x+y_0 y-l\left(x_0-l\right)-r^2=0$
quindi riarrangiamo
$\begin{array}{|c|C}\hline
\displaystyle\frac{x_0-l}{l\left(x_0-l\right)+r^2} x + \frac{y_0}{l\left(x_0-l\right)+r^2} y = 1
\\\hline\end{array}$
per ottenere lo stesso termine noto dell’equazione della tangente dell’ellisse: in questo modo, le due tangenti sono uguali se sono uguali i coefficienti di $x$ e $y$
$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle \frac{x_0}{a^2}=\frac{x_0-l}{l\left(x_0-l\right)+r^2}\\
\displaystyle \frac{y_0}{b^2}=\frac{y_0}{l\left(x_0-l\right)+r^2}
\end{array}\right.$
da cui ricaviamo
$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle a=\sqrt{\frac{x_0\left[l\left(x_0-l\right)+r^2\right]}{x_0-l}}=b\sqrt{\frac{x_0}{x_0-l}}\\
\displaystyle b=\sqrt{l\left(x_0-l\right)+r^2}
\end{array}\right.$
Per semplificarci la vita operiamo la sostituzione $x_0 = l + t$, con $t=r\cos\vartheta$ ottenendo
$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle a=b\sqrt{\frac{l+t}t}\\
\displaystyle b=\sqrt{lt+r^2}
\end{array}\right.$
e l’area dell’ellisse sarà
$\displaystyle A=\pi ab=\pi\left(lt+r^2\right)\sqrt{\frac{l+t}t}$
Per minimizzarla troviamo la derivata in funzione di $t$
$\displaystyle A'=\pi l\sqrt{\frac{l+t}t}+\pi\left(lt+r^2\right)\frac{-\frac{l}{ t^2}}{2\sqrt{\frac{l+t}t}}=\pi l\frac{2t^2+lt-r^2}{2t^2\sqrt{\frac{l+t}t}} $
che si annulla per
$\displaystyle 2t^2+lt-r^2=0\quad\to\quad t=\frac{-l+\sqrt{l^2+8r^2}}4=0,561\ldots $
Quindi
$\displaystyle b=\sqrt{lt+r^2}=2,714\ldots,\qquad a=b\sqrt{\frac{l+t}t}=9,279\ldots,\qquad A=\pi ab=79,138\ldots$
La spannometria di Delfo è sempre mirabile, però la sua circonferenza appartiene ad un’altra famiglia di ellissi
- EllisseCircoscritta640x640.png (52.67 KiB) Visto 4293 volte
quelle con l’asse maggiore coincidente con l’asse dei cinque cerchi, che comprende tutte le ellissi con semiasse maggiore $a=l+r$ e semiasse minore $\sqrt{lr+r^2}\leq b\leq a$.
Quando $t=r$ allora $y_0=0$, la tangente è verticale e $b$ non è definito dalle equazioni cosicché guadagniamo un grado di libertà: l’ellisse
$\displaystyle \frac{x^2}{\left(l+r\right)^2}+\frac{y^2}{lr+r^2}=1$
la più piccola di quelle illustrate, appartiene a tutte e due le famiglie.