Il bicchiere
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Il bicchiere
A parità di superficie, contiene di più un bicchiere cilindrico o un bicchiere conico?
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Il bicchiere
Ne consegue che le superfici laterali dei due solidi hanno la stessa misura e che:
$h_2 = sqrt{4h_1^2 - R^2}$
Resta da confrontare i volumi dei due solidi, ma prima ancora occorre osservare che deve essere:
$4h_1^2-R^2>0$, ovvero: $R<2h_1$
Vediamo ora se $Vol_{ci} >Vol_{co}$, cioè se:
$\text \pi R^2h_1 > (\pi R^2h_2):3$
e quindi se:
$h_1> (sqrt{4h_1^2 - R^2}):3$
$9h_1^2>4h_1^2 - R^2$
$5h_1^2 > -R^2$
La risposta è affermativa e naturalmente non è possibile che sia $5h_1^2 <= -R^2$
In conclusione,a parità di superfici laterali, nel caso esaminato, il volume del cilindro pare che sia maggiore di quello del cono.
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E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: Il bicchiere
Caro e ottimo Delfo, mi sembra che tu ti dimentichi un pezzetto della superficie del bicchiere cilindrico: il fondo; inoltre, nessuno ha detto che i due bicchieri debbano avere lo stesso raggio...
il panurgo
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Re: Il bicchiere
forse una formulazione meno equivoca del problema potrebbe essere:
il cilindro più "conveniente", ovvero che ha il volume maggiore a parità di superficie, è quello di altezza uguale al doppio del raggio (credo sia dimostrabile).
Per un cono qual è il rapporto ottimale tra raggio della base e altezza ?
Per come è esposto il quesito, è possibile ipotizzare un cilindro lungo e stretto (cannuccia) di volume tendente a zero certamente meno capiente di un cono ben fatto. E ugualmente un cono schiacciatissimo di altezza epsilon, composto praticamente da due dischi sovrapposti di cui uno appena appena soprelevato al centro. con tutta quella lamiera si potrebbe certamente fare un cilindro bello capiente...
il cilindro più "conveniente", ovvero che ha il volume maggiore a parità di superficie, è quello di altezza uguale al doppio del raggio (credo sia dimostrabile).
Per un cono qual è il rapporto ottimale tra raggio della base e altezza ?
Per come è esposto il quesito, è possibile ipotizzare un cilindro lungo e stretto (cannuccia) di volume tendente a zero certamente meno capiente di un cono ben fatto. E ugualmente un cono schiacciatissimo di altezza epsilon, composto praticamente da due dischi sovrapposti di cui uno appena appena soprelevato al centro. con tutta quella lamiera si potrebbe certamente fare un cilindro bello capiente...
Enrico
Re: Il bicchiere
Dovendo decidere se preferire una forma conica o cilindrica (con il sottinteso che vogliamo bere di più!) è d'uopo massimizzare i volumi per i due tipi di recipiente..
il panurgo
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Re: Il bicchiere
Stavo pensando in modo laterale che se ai fini del calcolo dei volumi non dovesse interessare il fondo dei bicchieri, il bicchiere cilindrico non conterrebbe alcun liquido.
Quindi, indipendentemente dalle sue misure, converrebbe dare sempre la preferenza al bicchiere conico, in quanto l'altro non conterrebbe un bel nulla.
Quindi, indipendentemente dalle sue misure, converrebbe dare sempre la preferenza al bicchiere conico, in quanto l'altro non conterrebbe un bel nulla.
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Re: Il bicchiere
peraltro, quello conico, se lo metti a punta in su, è vuoto; se lo mettiamo in bilico sulla punta, casca...
Enrico
Re: Il bicchiere
Vabbè! Comunque, nel precedente post Panurgo (il quesito è suo) ha dichiarato che il fondo del bicchiere cilindrico ci vuole (cosa che mi era sfuggita).
Pertanto, tutto da rifare e dunque da quale bicchiere conviene bere?
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Re: Il bicchiere
Se non ho fatto errori, il cono può raggiungere un volume maggiore del cilindro.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco