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Con n-1 numeri diversi, scelti tra 1 e n, costruire una sequenza che inizia con n e tale che le differenze mod(n-1) tra il primo e il secondo termine della sequenza, tra il secondo e il terzo termine, ecc., siano tutte diverse.
Con tale sequenza costruiamo una tabella (n-1)x(n-1) la cui prima colonna contiene i numeri della sequenza e la diagonale principale contiene solo n. Se r è un termine della sequenza diverso da n la diagonale che parte da esso conterrà i numeri r, r-1, r-2, ... (differenze sempre modulo n-1, s'intende) e così per tutti i numeri diversi da n. La tabella è cilindrica (la prima e l’ultima riga si toccano, come se la tabella fosse avvolta su un cilindro), per cui quando una diagonale esce sotto la tabella poi rientra di sopra.
Un esempio con n=4 (potenza pari). Sia la sequenza 4 1 2, quindi differenze modulari (4-1)=3 e (1-2)=2.
La tabella comincerà con:

04
01
02 poi:

04
01…04
02…03…04 per finire con:

04…01…02
01…04…03
02…03…04

quindi con righe e colonne che contengono sempre numeri diversi.

Problema: costruire una tabella con righe e colonne che contengano sempre numeri diversi con n=8 (potenza pari) e una con n=9 (potenza dispari)

ciao, ho trovato la verticale ma non riesco a proseguire.

questo e l'inizio

8
1_8
4__8
5___8
3____8
7_____8
2______8

Il primo passo è questo:

8
1…8
4…7…8
5…3…6…8
3…4…2…5…8
7…2…3…1…4…8
2…6…1…2…7…3…8

però, come vedi, nell’ultima riga ci sono due numeri uguali per cui è inutile proseguire. Le differenze (mod 7) danno tutti numeri diversi ma tale sequenza non genera un quadrato quasi latino.

Visto che nessuno ha ancora trovato una soluzione aggiungo un altro esempio con n=7. La sequenza è:
7 6 3 1 2 4 con differenze modulari:
1 3 2 5 4
e la tabella quindi comincerà con:

7
6…7
3…5…7
1…2…4…7
2…6…1…3…7
4…1…5…6…2…7 per finire con:

7…3…6…4…5…1
6…7…2…5…3…4
3…5…7…1…4…2
1…2…4…7…6…3
2…6…1…3…7…5
4…1…5…6…2…7

Questo problema nasce da una mia vecchia ricerca ispirata dall’articolo di Martin Gardner “I guastafeste di Eulero”, nel suo terzo libro di Giochi (Sansoni editore). Dal quadrato quasi latino si ottiene in modo semplice una struttura geometrica indicata con

AG(2,n)

cioè “spazio affine di Galois di dimensione 2 e ordine n”
oppure, visto che la dimensione è 2 si parla di “piano affine”.
Si sa che esistono piani affini di ordine n per ogni n potenza di un numero primo: usando la tabella ottenuta da una corretta sequenza si ottengono tutte le nx(n+1) linee di tale piano.
Per n=9 esistono 4 piani affini, ma con quello che scherzosamente ho chiamato quadrato quasi latino si genera un piano affine “desarguesiano” (gli altri tre non lo sono).

Mi sono preso un po’ di tempo per far vedere come costruire il piano affine prendendo ad esempio il quadrato quasi latino con n=7, tabella QQL 1 della figura sotto.
Le altre tabelle della prima fila sono ottenute spostando una colonna per volta. Nella seconda fila della figura le tabelle QQL diventano quadrati latini QL aggiungendo (in rosso) i numeri mancanti. Ogni riga di QL forma una linea del piano: in giallo in QL 1 evidenzio la linea formata dai punti (6 3 5 7 1 4 2); abbiamo 7 linee parallele. Da ogni tabella della seconda fila ricaviamo un fascio di n parallele, n*(n-1) linee in tutto.

Nella terza fila della figura c’è ancora il primo quadrato latino QL 1, ma stavolta da esso prendiamo le colonne: altre 7 parallele. Se invece prendiamo i punti di uguale valore a formare una linea (esempio in giallo della seconda tabella) abbiamo le ultime 7 parallele.

In totale n*(n-1)+n+n = n*(n+1) linee.

La terza figura della terza fila è ancora il primo quadrato latino da cui prendiamo le righe: otteniamo un fascio di 7 linee parallele che coloriamo diversamente per riconoscerle. Alla sua destra vediamo come appaiono due di tali linee in un sistema di riferimento cartesiano. Solo due altrimenti la figura sarebbe troppo confusa. Alla sua destra ancora una rappresentazione diversa: usando i colori stavolta si vedono tutte le parallele del fascio ottenuto da QL 1.