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81 e altri 9.

Inviato: mer lug 18, 2018 3:20 pm
da Bruno
Ci sono delle sequenze in OEIS di cui pochi si occupano.

Una di queste è stata registrata nel 2008 a cura di Leroy Quet ed è così definita: un intero positivo n appartiene a questa lista di numeri se, tradotto nel sistema binario, la differenza fra il numero degli 0 e quello degli 1 divide n.
Osservando i primi 67 termini della sequenza, si scopre che essa contiene i dieci numeri consecutivi da 81 a 90.

OEIS ha quasi 180 sequenze che includono tale successione nel campo Data.

Secondo A192336, per esempio, questi dieci numeri consecutivi possono essere scritti come somma di due o più quadrati distinti.
In realtà, si potrebbero aggiungere 77, 78, 79, 80 e 91, quindi passeremmo a quindici numeri consecutivi.
Da un certo punto in poi, comunque, tutti i naturali si possono rappresentare così, come precisa lo stesso Charles Greathouse.

Ma c'è una proprietà (per niente ovvia) che accomuna ciascuno dei nostri dieci numeri, la quale non coinvolge né 80 né 91.
Essa riguarda sempre i quadrati e, in particolare, i numeri positivi della forma x² - 2·y², considerando y non nullo.

. x e y si possono scrivere opportunamente in modo che l'espressione x² - 2·y² sia un quadrato perfetto: sapreste trovare infinite soluzioni? $\tiny ^{(+)}$
. Perché i numeri da 81 a 90 sono collegati a queste forme quadratiche equivalenti a quadrati?


(+)
Poiché 3² - 2·2² = 1, c'è un modo molto semplice di trovare infinite soluzioni. Basta infatti considerare x = 3·k e y = 2·k, e così: (3·k)² - 2·(2·k)² = k². Lo stesso discorso è applicabile
a 17² - 2·12² = 1 o ad altri casi simili, però si possono trovare infinite soluzioni seguendo anche idee diverse.
E qui notiamo che un quadrato è sempre rappresentabile nella forma r² - 2·s² (lo abbiamo appena visto), ma naturalmente non lo è sempre in questa r² + 2·s² (se s non è nullo).

Re: 81 e altri 9.

Inviato: gio lug 26, 2018 5:10 pm
da Gianfranco
Grazie Bruno per l'aggiunta.
Seguo ma non scrivo perché non ho capito come cercare collegamenti con i numeri da 81 a 90.
Ho appurato che per tutti i valori interi di x da 81 a 90 esiste qualche y per cui x^2-2y^2 è un quadrato perfetto.
E ciò è la prima volta che accade con una sequenza di 10 numeri consecutivi.
Ma se andiamo avanti con valori di x sempre più alti, qualcosa di simile accade molte altre volte, anche con sequenze più lunghe di 10 numeri consecutivi.
Ma non ho trovato collegamenti con le forme quadratiche.

Re: 81 e altri 9.

Inviato: ven lug 27, 2018 8:09 am
da Gianfranco
Visto che l'ambito è quello delle sequenze di interi, aggiungo qualche riflessione, purtroppo non molto concludente.

Il quadrato di n è la somma dei primi n numeri dispari. E' una progressione aritmetica che parte da 1 e ha ragione 2.

Per esempio:
9^2=1+3+5+7+9+11+13+15+17=81

Se si sottrae da una somma dei primi n numeri dispari un suo qualunque segmento finale, si ottiene ancora un numero quadrato.

Per esempio:
(1+3+5+7+9+11+13+15+17)-(15+17)=81-32=49=7^2


Il doppio del quadrato di n cioè 2n^2 è la somma dei doppi dei primi n numeri dispari.
Per esempio
2\cdot4^2=2+6+10+14=32
In altre parole è la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica che inizia da 2 e ha ragione 4.

Osserviamo che:
15+17=2+6+10+14=32

Diamo un nome alle cose (magari hanno già un nome che io non so).
S_n=somma dei primi n numeri dispari.
S_f=somma dei numeri di un segmento finale di Sn
D_n=somma dei doppi dei primi n numeri dispari

Per indagare su:
x^2-2y^2=z^2

forse bisogna indagare su quando:
S_f=D_n

Re: 81 e altri 9.

Inviato: ven lug 27, 2018 8:56 am
da Bruno
Gianfranco ha scritto: Ho appurato che per tutti i valori interi di x da 81 a 90 esiste qualche y per cui x^2-2y^2 è un quadrato perfetto.
E ciò è la prima volta che accade con una sequenza di 10 numeri consecutivi.
Questo è il collegamento, Gianfranco, ottimo :D

81² - 2·56² = 17²
82² - 2·48² = 46²
83² - 2·18² = 79²
84² - 2·56² = 28²
85² - 2·60² = 5²
86² - 2·60² = 14²
87² - 2·58² = 29²
88² - 2·48² = 56²
89² - 2·36² = 73²
90² - 2·40² = 70²

Per 81 e 90 la soluzione non è unica.
80 e 91 non possono essere compresi in questo tipo di scrittura.

Proprio così: andando avanti, si possono incontrare altre decine di numeri consecutivi con questa proprietà, ma non prima di 929, mentre a partire da 4647 si trovano i primi 16 numeri consecutivi, etc.
Fra parentesi, anche la prima sequenza di 6 numeri consecutivi inizia con 81.
Un'altra particolarità della nostra decina è che tutti i quadrati dei numeri da 81 (un quadrato) a 81 + 9 (lo stesso quadrato più la sua base) sono rappresentabili nella forma r² + 2·s² (929 e 4647 non sono quadrati).

Interessanti le tue successive riflessioni per la prima domanda.

Re: 81 e altri 9.

Inviato: dom lug 29, 2018 9:26 pm
da Info
notare che i numeri non sono neanche unici.... 9^2=72+9=2*6^2+3^2
adesso mi chiedo: ma per tutti i numeri esiste una regola per calcolare i valori oltre che provare tutte le somme dei numeri dispari da destra?

Re: 81 e altri 9.

Inviato: dom lug 29, 2018 11:37 pm
da Info
ci pensavo adesso all'esempio di 81....
81=9^2=(3^2)^2=((2+1)^2)^2=(4+4+1)^2
nel primo caso mi serve il 2 quindi raggruppo i 2 quattro per poterla considerare come 2 * 4 + 1 e scrivo
(8+1)*(4+4+1)
in base a come sommo la terna del secondo membro ottengo tutte le soluzioni
per quella di Gianfranco
4+4+1=4+5 quindi (8+1)*(4+5)=32+40+4+5=32+49=81
per la mia
4+4+1=9 quindi (8+1)*9=72+9=81

Re: 81 e altri 9.

Inviato: lun lug 30, 2018 4:54 pm
da Bruno
Info ha scritto:notare che i numeri non sono neanche unici....
È così, info, infatti l'ho precisato più sopra anche per 90, non solo per 81.
Info ha scritto:ci pensavo adesso all'esempio di 81...
Ok, 81 è un caso particolare e si presta quindi a considerazioni particolari, se ho ben capito il tuo ragionamento.


In realtà, si può andare un pochino oltre questi casi particolari e trovare infiniti numeri che rendano quadrato x² - 2·y², senza il vincolo che i valori di x siano consecutivi.
Ci sono forse vari modi di esplorare questo problema e taluni risultati potrebbero essere verificati in un batter d'occhio - quasi come (3·k)² - 2·(2·k)² = k², l'esempio visto più sopra -, tuttavia mi sorprende sempre il fatto che, prima di aver trovato una chiave di accesso, le cose appaiano tutt'altro che immediate.

Re: 81 e altri 9.

Inviato: mer ago 01, 2018 2:22 pm
da Bruno
Gianfranco ha scritto: Per indagare su:
x^2-2y^2=z^2

forse bisogna indagare su quando:
S_f=D_n
Provo ad applicare la tua idea, Gianfranco :wink:

Suppongo Dn = 2·(2·t)² = 8·t².

Osservo che 8·t² = (2·t²-3) + (2·t²-1) + (2·t²+1) + (2·t²+3), quindi ho un segmento finale Sf.
Allora:

[1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2·t²+3)] - [(2·t²-3) + (2·t²-1) + (2·t²+1) + (2·t²+3)] = (t²+2)² - 2·(2·t)² = (t²-2)².

L'ultima uguaglianza (un'identità di immediata verifica) fornisce infinite soluzioni non banali al primo problema. Ottimo :D

Re: 81 e altri 9.

Inviato: gio ago 02, 2018 10:42 am
da Bruno
Naturalmente, potremmo anche porre:

8·t² = (4·t²-1) + (4·t²+1),

individuando così un altro e più ovvio segmento finale.
Pertanto:

[1 + 3 + 5 + 7 + ... + (4·t²+1)] - [(4·t²-1) + (4·t²+1)] = (2·t²+1)² - 2·(2·t)² = (2·t²-1)²

e pure $\;$ (2·t²+1)² - 2·(2·t)² = (2·t²-1)² $\;$ offre al problema soluzioni a volontà, très jolie :D

Le due identità ottenute (ieri e oggi) potrebbero essere generalizzate, ma ho stabilito questo fatto per un'altra via... :wink:



*** Aggiornamento del 29 agosto 2018 ***

Riporto qui il metodo che ho seguito, a cui accennavo nell'ultima frase del precedente intervento, senza così aggiungere un altro post e mantenendo la visibilità sull'interessante topic aperto in questi giorni da Giobimbo.

Il nostro punto di partenza è questa equazione: x² - 2·y² = z².

Prima osservazione: x e z sono entrambi pari o entrambi dispari.

Pertanto, possiamo scrivere:

(r + s)² - 2·y² = (r - s)²,

da cui si deduce:

2·r·s = y².

Ciò significa che y dev'essere pari, quindi assumiamo y = 2·u.

Allora:

r·s = 2·u².

Ponendo:

r = 2·u
s = u,

si ottiene l'ovvia identità:

(3·u)² - 2·(2·u)² = u².

Se invece:

r = 2·u²
s = 1,

si ottiene:

(2·u² + 1)² - 2·(2·u)² = (2·u² - 1)².

Mentre per:

r = u²
s = 2,

si ottiene:

(u² + 2)² - 2·(2·u)² = (u² - 2)².

Abbiamo già visto queste tre identità nei precedenti contributi.

Ma se esprimiamo u in questo modo:

u = p·q

e fissiamo:

r = 2·p²
s = q²,

si trova la seguente identità più generale:

(2·p² + q²)² - 2·(2·p·q)² = (2·p² - q²)²,

che per q = 1 diventa:

(2·p² + 1)² - 2·(2·p)² = (2·p² - 1)²

e per p = 1:

(q² + 2)² - 2·(2·q)² = (q² - 2)².

Con una piccola modifica, inoltre, si possono trovare infinite soluzioni anche per questa equazione:

x² - k·y² = z²,

applicando l'identità:

(k·p² + q²)² - k·(2·p·q)² = (k·p² - q²)².

Penso che il problema possa essere trattato con altri approcci, quello di Gianfranco e il mio non sono gli unici :wink: