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Tombola

Inviato: lun giu 11, 2018 6:18 pm
da ronfo
Ciao a tutti i basecinquini
ho constatato che ho una quantità di documentazione matematica che se dovessi leggerla tutta dovrei campare più di due secoli.
Tra i tanti libricini ho trovato un giochino piuttosto simpatico.
Prendiamo il tabellone della Tombola possiamo sommare tre numeri contigui qualunque
sia in orizzontale , che in verticale che nelle diagonali otterremo sempre un multiplo di tre
come si può facilmente vedere nell'esempio qui sotto
46 47 48 49 50
56 57 58 59 60
66 67 68 69 70
76 77 78 79 80
86 87 88 89 90

1) 57+68+79
2) 58+68+78
3) 59+68+77
4) 67+68+69

ecc..
questa caratteristica non è del tutto ovvia
riuscite a dimostrarlo?

Vale per ogni tabella numerica simile di ordine qualsiasi?
Ciao

Re: Tombola

Inviato: mar giu 12, 2018 4:47 pm
da panurgo
Nella tabella della Tombola tre numeri consecutivi lungo qualsiasi direzione hanno differenze costanti.

Sia $d$ la differenza e avremo

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lCCC} a = n \\ b = n + d \\ c = n + 2d \end{array} \right.\qquad\Longrightarrow\qquad a+b+c=3\left(n+d\right)$


:)

Re: Tombola

Inviato: ven giu 15, 2018 11:04 pm
da Gianfranco
Ottimo ragionamento, Panurgo.
Il tabellone della tombola è formato da 9 righe x 10 colonne ma il tuo ragionamento vale per qualunque griglia di n righe x k colonne (con n>=3).
Io avevo preparato questo schema:
tombola_mult_3.png
tombola_mult_3.png (18.21 KiB) Visto 2040 volte
Da cui si ricava:
n-1+n+n+1=3n
n-k+n+n+k=3n
n-k-1+n+n+k+1=3n
e così via.

Re: Tombola

Inviato: mer lug 11, 2018 9:13 pm
da Gianfranco
Panurgo ha scritto.
Nella tabella della Tombola tre numeri consecutivi lungo qualsiasi direzione hanno differenze costanti.
Ciò significa che sono in progressione aritmetica.
Anche se sono più di tre.
Ciò permette di generalizzare il problema da così:
Prendiamo il tabellone della Tombola possiamo sommare tre numeri contigui qualunque
sia in orizzontale , che in verticale che nelle diagonali otterremo sempre un multiplo di tre
a così:
Prendiamo i numeri naturali maggiori di 0 scritti in una griglia di k colonne.
Possiamo sommare a numeri contigui qualunque sia in orizzontale sia in verticale sia nelle diagonali e otterremo sempre un multiplo di ...???
  • un multiplo di a se a è dispari;
  • un multiplo di \frac{a}{2} se a è pari.
Sarà giusto?

Re: Tombola

Inviato: gio lug 12, 2018 3:26 pm
da panurgo
E' così

$\displaystyle S = a \cdot n + \frac {a \left( a - 1\right)}2$

se $a$ è dispari, $\left( a - 1\right)$ è pari e il $2$ al denominatore "lascia in pace" $a$; viceversa, se $a$ è pari è $\left( a - 1\right)$ a essere dispari e a "sopravvivere" alla divisione per $2$...

Re: Tombola

Inviato: gio lug 12, 2018 4:04 pm
da Gianfranco
Perfetto.
Ormai stiamo parlando di progressioni aritmetiche, quindi aggiungerei:
S=a n+\frac{\left( a-1\right)  a d}{2}
dove d è la ragione della progressione.

Tornando alla tombola, è valida quest'altra generalizzazione?
tombola_2.PNG
tombola_2.PNG (68.54 KiB) Visto 1982 volte
Se scriviamo k^2 numeri naturali in una griglia k \times k (come nel tabellone della tombola) e prendiamo n numeri successivi "allineati" lungo una qualunque retta, essi sono in progressione aritmetica (?)
Quindi sono valide le proprietà viste prima (?)

Sarà vero?

P.S. Ho cambiato la variabile da a a n.

Re: Tombola

Inviato: gio lug 12, 2018 5:14 pm
da panurgo
panurgo ha scritto:Nella tabella della Tombola tre numeri consecutivi lungo qualsiasi direzione hanno differenze costanti.

Re: Tombola

Inviato: ven lug 13, 2018 6:49 am
da Gianfranco
Giusto!
Pensavo (erroneamente) che ti riferissi a "qualsisasi" direzione fra le tre (orizzontale, verticale, diagonale) di cui parlava il problema posto inizialmente.