Leggo su
Elementi di Geometria Razionale del Prof. Dott. Francesco Morra, Casa Editrice Luigi Trevisini, Milano, che ho ereditato da mio padre, che "la risoluzione di un problema consta di tre parti:
1ª)
la costruzione, che indica le rette e le crf. da descrivere;
2ª)
la dimostrazione, che consiste nel far vedere che la soluzione trovata soddisfa alle condizioni imposte nel quesito (o enunciato);
3ª)
la discussione, che consiste nello stabilire se gli elementi dati possono essere presi arbitrari oppure debbano sottoporsi a qualche condizione perché il problema sia geometricamente possibile."
Dunque:
Costruzione
Sulla circonferenza del cerchio dato prendiamo arbitrariamente tre punti: $\text{A}$, $\text{B}$ e $\text{C}$.
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Gli assi delle corde $\text{AB}$ e $\text{BC}$ equidistano rispettivamente da $\text{A}$ e $\text{B}$, il primo, e da $\text{B}$ e $\text{C}$, il secondo.
La loro intersezione equidista da tutti e tre i punti e quindi è il centro, $\text{O}$.
Tracciamo la semiretta $\text{OA}$ e il raggio $\text{OD}$
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Sulla semiretta $\text{OA}$ stacchiamo ad arbitrio il punto $\text{P}_1$
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indi innalziamo la perpendicolare alla semiretta $\text{OA}$, riportiamo su di essa la distanza $\text{OP}_1$ individuando il punto $\text{P}^{\prime}_1$: per detto punto tracciamo la parallela alla semiretta $\text{OA}$.
La lunghezza del segmento $\text{OP}^{\prime}_1$ è $\sqrt{2}$ volte quella del segmento $\text{OP}_1$ per il Teorema di Pitagora
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Riportiamo tale distanza sulla semiretta $\text{OA}$ individuando il $\text{OP}_2$ per il quale ripetiamo l’innalzamento della perpendicolare che interseca la retta parallela nel punto $\text{P}^{\prime}_2$: la distanza $\text{OP}^{\prime}_2$ è $\sqrt{3}$ volte quella del segmento $\text{OP}_1$, sempre per il Teorema di Pitagora
Ripetiamo l'operazione per il punto $\text{P}^{\prime}_2$ individuando i punti $\text{P}_3$ e $\text{P}^{\prime}_3$ con la distanza $\text{OP}^{\prime}_3$ che è il doppio ($\sqrt{4}$) della distanza $\text{OP}_1$
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Continuiamo così fino al punto $\text{P}_{13}$
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Tracciamo la retta $\text{P}_{13}\text{D}$ e le rette ad essa parallele passanti per i punti $\text{P}_k$
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Per il Teorema di Talete tali rette individuano sul raggio $\text{OD}$ i punti $\text{Q}_k$ la cui distanza da $\text{O}$ è proporzionale a $\sqrt{k}$
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Tracciamo le circonferenze di centro $\text{O}$ passanti per i punti $\text{Q}_k$: le corone circolari così determinate hanno eguale area.
Dimostrazione
L'area di una corona circolare è la differenza tra l’area del cerchio di raggio esterno e quella del cerchio di raggio interno.
Le aree di due cerchi stanno in rapporto tra di loro come i quadrati dei rispettivi raggi.
Presi due cerchi concentrici consecutivi abbiamo
$\displaystyle A=A_{k+1}-A_{k}=2\pi\left(\alpha\sqrt{k+1}\right)^2 - 2\pi\left(\alpha\sqrt{k}\right)^2=2\pi\alpha^2$
Indipendentemente dal valore di $k$ ergo tutte le aree sono uguali Q.E.D.
Discussione
Quando ho prospettato questa soluzione ai commensali, uno di essi ha ribattuto che una torta non è un cerchio e che, in questo modo, chi si fosse pappato la "fetta" esterna avrebbe avuto una razione extra di glassa, il che sarebbe stato ingiusto.
Detto fatto, con un’abile mossa alla Giotto, ho tracciato un cerchio intorno alla torta con il mio coltellino Opinel e ho arraffato la glassa come compenso per il mio disturbo: mmm, si è sciolta in bocca !