Bravissimo, Vittorio
Mi sembra che non ci siano errori di trascrizione, ma forse potremmo considerare $\,p\,$ e $\,q\,$ con il
medesimo denominatore nelle formule finali.
Bello il fatto che tu abbia indovinato la fattorizzazione nel passaggio 5.
Questo è il ragionamento che ho fatto io.
Chiamo i numeri cercati $\,a\,$ e $\,b$.
Pongo:
$\{
a\cdot (b+1) = p^2 \quad \Rightarrow \quad \{a = {\large \frac p h} \\ b+1 = p\cdot h, \quad b = p\cdot h-1 \.
\\
b\cdot (a+1) = q^2 \quad \Rightarrow \quad \{b = {\large \frac q k} \\ a+1 = q\cdot k, \quad a = q\cdot k-1$
dove $\,h\,$ e $\,k\,$ sono parametri razionali diversi da zero.
Ecco, questo è il centro della mia idea, tutto ciò che segue è una mera manipolazione di simboli
e segni, il cui obiettivo è quello di passare da due variabili a una sola.
Vado avanti:
$\{
{\large \frac p h} = q\cdot k-1
\\
{\large \frac q k} = p\cdot h-1\.
\quad \Rightarrow \quad
\{ p = h \cdot {\large \frac{k^2 + 1}{(h \cdot k)^2 - 1}}
\\
q = k \cdot {\large \frac{h^2 + 1}{(h \cdot k)^2 - 1}}\.
\quad \Rightarrow \quad
\{ a = {\large \frac{k^2 + 1}{(h \cdot k)^2 - 1}}
\\
b = {\large \frac{h^2 + 1}{(h \cdot k)^2 - 1}}\. \quad\quad\quad (|h\cdot k| \, \ne \,1).$
Il problema impone anche:
$p + q = 12,$
pertanto:
$h\cdot {\large \frac{k^2 + 1}{(h\cdot k)^2-1}} + k\cdot {\large \frac{h^2 + 1}{(h\cdot k)^2-1}} = 12 \quad \Rightarrow \quad h = {\large \frac {k + 12}{12\cdot k - 1}} .$
Sostituisco nelle precedenti espressioni:
$\{
a = {\large \frac{k^2 + 1}{(h \cdot k)^2 - 1}}
\\
b = {\large \frac{h^2 + 1}{(h \cdot k)^2 - 1}}\.
\quad \Rightarrow \quad
\{ a = {\large \frac{\(12\cdot k-1\)^2}{\(k + 12\)^2 - 145}}
\\
b = {\large \frac{145}{\(k + 12\)^2 - 145}.}\.$
Poiché $\,k\,$ è razionale, il denominatore è sempre diverso da zero.
Per $\,a\,$ e $\,b\,$, in questo modo, ho individuato delle forme chiuse razionali.
Se fisso $\quad k=1$, $\,$ ottengo:
$\{
a = {\large \frac{\(12\cdot 1-1\)^2}{\(1 + 12\)^2 - 145}}
\\
b = {\large \frac{145}{\(1 + 12\)^2 - 145}}\.
\quad \Rightarrow \quad
\{ a = {\large \frac{121}{24}}
\\
b = {\large \frac{145}{24}.}\.$
E infatti:
${\large \frac{121}{24}}\cdot {\large \frac{145}{24}}\quad + \quad{\large \frac{121}{24}} \quad = \quad \({\large \frac{143}{24}}\)^2,$
${\large \frac{121}{24}}\cdot {\large \frac{145}{24}} \quad + \quad {\large \frac{145}{24}} \quad = \quad \({\large \frac{145}{24}}\)^2,$
${\large \frac{143}{24}}\quad + \quad {\large \frac{145}{24}}\quad =\quad 12\,.$
Naturalmente, il procedimento può essere generalizzato, al posto di
12 si può considerare un
altro numero.
Le seguenti identità permettono di risolvere in maniera più generale il problema di Bombelli.
Se assumiamo un generico intero positivo $\,s\,$ al posto di
12, abbiamo:
${\large \frac{(s\cdot k-1)^2}{(k+s)^2-(s^2+1)}\cdot \frac{s^2+1}{(k+s)^2-(s^2+1)}\quad + \quad \frac{(s\cdot k-1)^2}{(k+s)^2-(s^2+1)}\quad = \quad \(\frac{(k + s)\cdot (s\cdot k - 1)}{(k+s)^2-(s^2+1)}\)^2,
\\
{\large \frac{(s\cdot k-1)^2}{(k+s)^2-(s^2+1)}\cdot \frac{s^2+1}{(k+s)^2-(s^2+1)}\quad + \quad \frac{s^2+1}{(k+s)^2-(s^2+1)}}\quad = \quad \(\frac{k\cdot (s^2+1)}{(k+s)^2-(s^2+1)}\)^2,$
essendo:
$\large{\frac{(k + s)\cdot (s\cdot k - 1)}{(k+s)^2-(s^2+1)} \quad + \quad \frac{k\cdot (s^2+1)}{(k+s)^2-(s^2+1)} \quad = \quad s.}$
Qui possiamo scegliere opportunamente $\,k\,$ in modo che le basi dei quadrati siano positive,
rimanendo nello spirito di Bombelli.
Appena riesco, trascrivo la risoluzione del nostro Algebrista bolognese
