Quadrati e multipli di otto.

[Bruno]

Trovare i numeri interi aventi entrambe le forme $\;r^2-1\;$ e $\;8\cdot s-5\;$.

[delfo52]

3 e 35 ci sono...

[vittorio]

$64t^2-32t+3=(8t-2)^2-1=8(8t^2-4t+1)-5$ per t intero.

Deve infatti essere $r^2-1=8s-5$ da cui $r^2-8s+4=0$ che in un piano cartesiano (r,s) rappresenta una parabola.
Per tentativi o mediante una rappresentazion grafica si vede che la parabola passa per il punto A(2,1).
La generica retta $s-1=t(r-2)$ passa per A ed incontra ulteriormente la parabola nel punto $B(8t-2,8t^2-4t+1)$ le cui coordinate sono intere per t intero: ne consegue $r=8t-2$ e $s=8t^2-4t+1$.

Vittorio

[Bruno]

Ottimo, Vittorio!

Assumendo valori per $\,t\,$ positivi e negativi, la tua formula fornisce tutti gli interi che rispondono al problema, cioè:

$\small 3,\, 35,\, 99,\, 195,\, 323,\, 483,\, 675,\, 899,\, 1155,\, 1443,\, 1763,\, 2115,\, 2499,\, 2915,\, 3363,\, ...$

La sequenza comincia, pertanto, con i numeri indicati da Enrico


A me è capitato di pensare così.
r²-1 deve essere dispari, dal momento che lo è 8·s-5.
Quindi, se r = 2·m, da r²-1 = 8·s-5 ricaviamo m² = 2·s-1 e ciò impone di considerare m = 2·n+1.
Sostituendo in r²-1, si ottiene: (4·n+1)·(4·n+3) = 16·n²+16·n+3 con n ≥ 0.


Una curiosità. Prendiamo l'ottuplo di un numero triangolare, per esempio 8·91 = 728, e scriviamo alla destra del risultato due 9: 72899.
Questo numero soddisfa il problema

Inoltre, esiste la seguente formula ricorsiva non omogenea per la nostra sequenza, di verifica pressoché immediata.
Se t(n) è l'ennesimo termine e t(0) = 3,
t(n) = t(i) + 16·(n-i)·(n+i+1).
Per i=n-1, t(n) = t(n-1) + 32·n.
Concentriamoci ora su 32. Una delle sue bipartizioni è 32 = 24+8.
Si può facilmente dimostrare che:
(t(n)-24)·(t(n)-8) = t(n-1)·t(n+1).
Per esempio: (323-24)·(323-8) = 195·483.