Il piastrellista di Rrettangolandia e le stanze di Quadratia

[LampGenius]

Ecco un altro problemino:

Nella terra di Quadratia si e' ammalato il piastrellista. Gli abitanti allora decidono di chiamarne uno dalla vicina Rettangolandia.
Al suo arrivo gli espongono le strane regole di copertura delle loro stanze:

"Le nostre stanze sono tutte quadrate Qk di lato k con k intero e maggiore/uguale a 2. Inoltre a noi piace lasciare scoperti due quadretti di lato unitario ai due vertici opposti di Qk."

Il povero piastrellista di rettangolandia ha a disposizione soltanto piastrelle, ovviamente, rettangolari di dimensioni 2 x 1.
Occorre stabilire per quali k è possibile (se possibilie) piastrellare le stanze obbedendo alla regola.

Ciao, Giovanni

[panurgo]

Ahime! Povero piastrellista

Sempre che, da bravo piastrellista, non tagli qualche piastrella

[LampGenius]

Gia', mi ero dimenticato di dire che non si possono tagliare le piastrelle. Anche perche', il piastrellista di Rettangolandia mai e poi mai poserebbe piastrelle quadrate!

Ciao, Giovanni

[panurgo]

il piastrellista di Rettangolandia mai e poi mai poserebbe piastrelle quadrate!

avrebbe comunque potuto tagliare una piastrella ██ in quattro rettangoli ▄ ▄ ▄ ▄ da unire a due a due per coprire i quadrati singoli

[delfo52]

non capisco (tra le mille e mille cose che non capisco) la limitazione a stanze di lato 2k. Anche le stanze "dispari" sono impiastrellabili ( e non solo perchè dispari )

[Br1]

Proprio così, Enrico: pari e dispari... pari son!

Il quesito di Lamp mi sembra di averlo
già visto da qualche parte (e forse anche
da qualche anno).
A me piace rappresentarmelo così.

Niente di rimarchevole, comunque

Però mi piacciono i rettangolini neri di
Guido

Un benvenuto anche da parte mia a Lamp.

[panurgo]

Il guaio in cui si trova il piastrellista viene di solito proposto con pezzi di domino e una scacchiera...

[Br1]

E chiaramente non migliorerebbe la sua situazione,
questo piastrellista, se lo sconforto lo portasse, invece,
a posare un po' di piastrelle rettangolari 2x1 e un po'
di piastrelle quadrate 2x2

[0-§]

E se provasse con delle 2x3?Vedi sopra...
Con delle 2x1 insieme a delle 3x3(caso A) o a delle 3x1(caso B) però forse sarebbe già fattibile... per quali valori di k?
Qualcuno sa rispondere?
Saluti a Lamp e a tutto il forum di B5...
Zerinf

[Br1]

Passo al volo...

Innanzitutto: ciao Giovanni!
Complimenti per le tue proposte

Riguardo alla prima ipotesi, alla quale ho
strizzato velocemente l'occhio, direi che
stavolta il piastrellista potrebbe evitare
un'ulteriore frustrazione.
Allego qui e qui il metodo costruttivo che
mi è venuto in mente, che certamente
può essere esteso all'infinito... appunto

Forse l'effetto estetico lascia un pochino
a desiderare, ma intanto abbiam fatto
un primo passo.

Se ho tempo, vedo cosa mi salta fuori
sul caso bì.

[LampGenius]

Ho pensato che per venire incontro al povero piastrellista, gli abitanti di Quadratia potrebbero rilassare un po le loro regole e proporgli di lasciare i loro quadratini vuoti unitari ai vertici opposti di un qualunque rettangolo interno alle loro stanze.
In questo caso la soluzione c'e'.

[Br1]

Ho pensato che per venire incontro al povero piastrellista, gli abitanti di Quadratia potrebbero rilassare un po le loro regole e proporgli di lasciare i loro quadratini vuoti unitari ai vertici opposti di un qualunque rettangolo interno alle loro stanze.
In questo caso la soluzione c'e'.

Incuriosito dall'ultimo post di Panurgo, ieri
mi son fatto un giro in rete per cercare i vari
metodi dimostrativi del tuo problema iniziale,
Lamp.
Ho così trovato una bella spiegazione che
prevede anche quest'ultima tua estensione.
Sommariamente, ho dato una scorsa a quella
dimostrazione e non riesco a immaginare una
via alternativa (al momento) che sia altrettanto
meritevole, per cui volentieri cedo il passo.

Se mi resta un po' di tempo, preferisco occuparmi
delle varianti più nuove (forse) e non ovvie di
Zerinfinito.

Magari potresti provarci anche tu, perché no?

Grazie, intanto, per le tue proposte



>> Edit

(...) vedo cosa mi salta fuori sul caso bì.

Be', con un nulla ci rendiamo subito conto che
le soluzioni viste per il primo caso permettono
di rispondere anche al caso bì, visto che un
quadrato di 3x3 contiene ovviamente tre piastrelle
di 3x1... (ogni tanto si dorme!)
Naturalmente, questo però non toglie che si
possano immaginare altre configurazioni, quindi
il discorso è ancora apertissimo. (Giocando un po'
con Excel a mente leggera, per esempio, ho
trovato questa curiosa figura, che probabilmente
annoia un po' meno l'occhio rispetto agli schemi
che ho postato sopra...)

Adesso, intanto, abbiamo capito che nelle due
situazioni indicate da Zerinfinito la cosa è fattibile.

[panurgo]

Evidentemente, tutto ciò che può essere fatto con piastrelle $n \/ \times \/ n$, può essere fatto con piastrelle $n \/ \times \/ 1$ per cui mi sembra utile limitarci a queste ultime (che garantiscono la maggiore flessibilità).

Se si usano piastrelle di un solo tipo ($n \/ \times \/ 1$) abbiamo un criterio necessario per poter piastrellare: l'area da piastrellare deve essere un multiplo di $n$ quindi deve essere $p^{\script 2} \/ \equiv \/ 2 \/ \left ( {{\text mod} \/ n}\right )$, dato che togliamo due quadrati unitari

Per esempio, con $n \/ = \/ 3$

$p \/ \equiv \/ 0 \/ \left ( {{\text mod} \/ 3}\right ) \qquad \Rightarrow \qquad p \/ = \/ 3k \qquad \Rightarrow \qquad p^{\script 2} \/ = \/ 9k^{\script 2} \/ \equiv \/ 0 \/ \left ( {{\text mod} \/ 3}\right ) \\ p \/ \equiv \/ 1 \/ \left ( {{\text mod} \/ 3}\right ) \qquad \Rightarrow \qquad p \/ = \/ 3k \/ + \/ 1 \qquad \Rightarrow \qquad p^{\script 2} \/ = \/ 9k^{\script 2} \/ + \/ 6k \/ + \/ 1 \/ \equiv \/ 1 \/ \left ( {{\text mod} \/ 3}\right ) \\ p \/ \equiv \/ 2 \/ \left ( {{\text mod} \/ 3}\right ) \qquad \Rightarrow \qquad p \/ = \/ 3k \/ + \/ 2 \qquad \Rightarrow \qquad p^{\script 2} \/ = \/ 9k^{\script 2} \/ + \/ 12k \/ + \/ 4 \/ \equiv \/ 1 \/ \left ( {{\text mod} \/ 3}\right )$

e quindi $p^{\script 2} \/ \not \equiv \/ 2 \/ \left ( {{\text mod} \/ 3}\right )$: la piastrellatura non può essere fatta

[Br1]

Da sole no, insieme sì: l'unione fa la forza

[panurgo]

va da sé che per $n \/ = \/ 4$ non è possibile piastrellare: la dimensione del pavimento deve essere pari e se $p \/ = \/ 2k$ allora $p^{\script 2} \/ = \/ 4k^{\script 2} \/ \not \equiv \/ 2 \/ \left ( {\text mod} 4 \right )$...