solo per chi legge da neofita questo forum, mi permetto di riportare la soluzione "classica" del problema base. Credo sia da attribuire a M.Gardner, e se non lo fosse, poco male.
1)se coloriamo le caselle unitarie del pavimento quadrato con due colori alternati (tipo scacchiera della dama), i due quadrati opposti che devono restare scoperti sono, per forza, dello stesso colore.
2)le piastrelle 2x1 coprono, per forza, due caselle di colore differente
3)il numero di caselle di ogni colore resta, per forza, sempre uguale; in qualsiasi momento della posa in opera
4)non è possibile che restino scoperte due caselle dello stesso colore
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Il pavimento ha il lato lungo $p$ e le piastrelle sono $n \/ \times \/ 1$ con $p^{\script 2} \/ \equiv \/ 2 \/ \left ( {{\text mod} \/ n}\right )$ (in questo esempio, $n \/ = \/ 7$, $r \/ = \/ 4$ e $p \/ = \/ 11$): dovrebbe essere evidente che l'area bianca è pari a $r^{\script 2} \/ - \/ 2$.
Per poter completare la piastrellatura dovrebbe essere $r^{\script 2} \/ - \/ 2 \/ = \/ 0 \qquad \Rightarrow \qquad r^{\script 2} \/ = \/ 2$
Questo prova che non si può fare la piastrellatura con piastrelle $n \/ \times \/ 1$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Ammetto di essere stato un po' laconico nel mio ultimo post: voglio quindi ricapitolare quanto è stato fatto finora.panurgo ha scritto:Questo prova che non si può fare la piastrellatura con piastrelle $n \/ \times \/ 1$
Per un infortunio di notazione abbiamo usato $n$ per la dimensione delle piastrelle e $p$ per quella del pavimento: eviterò una scrittura che può risultare ostica per chi ha letto qualcosa di aritmentica modulare invertendo tutto ciò e utilizzando $p$ per la dimensione delle piastrelle e $n$ per quella del pavimento
Si considerano piastrelle $p \/ \times \/ 1$.
Si considerano stanze quadrate con lato pari a $n$ quadrati unitari con l'obbligo di non piastrellare due angoli opposti.
Se $p \/ = \/ 1$, (il caso $p \/ = \/ 0$ lo lascio a voi), è possibile piastrellare qualunque stanza: con buona pace del piastrellista, un quadrato è un rettangolo.
Se $p \/ = \/ 2$, la piastrellatura può essere fatta solo per stanze in cui il numero di quadrati di una parità è uguale a quello dei quadrati di parità opposta: una piastrella $2 \/ \times \/ 1$ deve coprire quadrati adiacenti e quindi di parità opposta; levando i quadrati ad angoli opposti, quadrati che hanno la stessa parità, si ottiene una superficie in cui c'è un eccesso di quadrati di una parità e la piastrellatura non può essere fatta.
Se $p \/ > \/ 2$, la piastrellatura può essere fatta solo se il lato $n$ è tale che la stanza, privata di due quadrati, abbia un'area multipla di $p$: cioè, $n^{\script 2} \/ \equiv \/ 2 \/ \left ( {\bmod \/ p} \right )$.
Poiché si ha $n \/ \equiv \/ r \/ \left ( {\bmod \/ p} \right )$ e, di conseguenza, $n^{\script 2} \/ \equiv \/ r^{\script 2} \/ \left ( {\bmod \/ p} \right )$ è sufficiente verificare per quali valori di $p$ si ha $r^{\script 2} \/ \equiv \/ 2 \/ \left ( {\bmod \/ p} \right )$ con $r \/ \in \/ \left \{ {0, \/ 1, \/ \ldots, \/ p \/ - \/ 1} \right \}$.
Il primo valore utile è $p \/ = \/ 7$ con $r \/ \in \/ \left \{ 3, \/ 4 \right \}$. Consideriamo $n \/ = \/ 7 \/ \times \/ 1 \/ + \/ 4$, cioè $n^{\script 2} \/ = \/ 49 \/ + \/ 56 \/ + \/ 16 \/ = \/ 49 \/ + \/ 56 \/ + \/ 14 \/ + \/ 2$.
Il piastrellista comincia a disporre le piastrelle, supponiamo, dall'angolo dove un quadrato deve restare libero: dalla prima piastrella adiacente al lato e al quadrato libero al lato del quadrato perpendicolare ad essa resta vuoto uno spazio pari a $r \/ - \/ 1$ ( $3$, in questo caso) che può essere riempito solo ponendo le piastrelle perpendicolari alla precedente
Procedendo simmetricamente (e se non si riesce simmetricamente è difficile pensare di riuscire altrimenti)
si ottiene la figura che avevo postato precedentemente
Ricordando che $n^{\script 2} = \/ 49 \/ + \/ 56 \/ + \/ 14 \/ + \/ 2$, l'area del quadrato grigio è $49$, quella delle piastrelle parallele ai lati è $56$, quella dei due quadrati ai vertici opposti è $2$ e l'area bianca è $14$.
Comunque si dispongano le piastrelle, per esempio
il problema del resto rimane sempre; quindi, l'unico modo di completare la piastrellatura sta nel trovare una appropriata combinazione di $n$ e $p$ per la quale l'area bianca sia nulla. Ma tale area è pari a $r^{\script 2} \/ - \/ 2$ e il fatto che sia nulla implica $r^{\script 2} \/ = \/ 2$: la piastrellatura non può essere fatta!
Le cose non cambiano scegliendo diversi valori di $n$
non si fa altro che aggiungere $k^{\script 2} \/ - \/ 1$ quadrati $7 \/ \times \/ 7$ e $8 \/ \left ( {k \/ - \/ 1} \right )$ piastrelle parallele ai lati e il resto "morde" sempre!
Per finire, una congettura: la piastrellatura non può essere fatta con piastrelle di un solo tipo, formate di $p$ quadrati e di forma qualunque.
Se volete verificare la congettura con gli eptamini, accomodatevi: sono solo 108
Ultima modifica di panurgo il lun lug 16, 2007 12:18 pm, modificato 1 volta in totale.
il panurgo
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