Pagina 1 di 1

Quattro di tre.

Inviato: mar ago 29, 2017 12:38 pm
da Bruno
Se $\, r \,$ ed $\, s \,$ sono due numeri pari, allora $\;r^2 + s^2 + (\frac{1}{2}\cdot r \cdot s)^2\;$ è sempre uguale a una somma di quattro quadrati.

Per esempio: $\,6^2 + 8^2 + (\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot {8})^2\,=\, 676 \, = \, 19^2+13^2+11^2+5^2$.

Re: Quattro di tre.

Inviato: dom set 03, 2017 1:15 am
da Info
ecco come funziona....

$t=\frac{r}2\\v=\frac{s}2\\$

basta riscrivere l'equazione con t e v

$4t^2 + 4v^2 + (2\cdot t \cdot v)^2\\(4t+t\cdot v^2)\cdot t+(4v+v\cdot t^2)\cdot v$

svolgendo si trovano i 4 numeri....

ecco per esempio 6 ed 8

$(12+3\cdot 4^2)\cdot 3+(16+4\cdot 3^2)\cdot 4\\36+48\cdot 3+64+36\cdot 4\\36+144+64+144$

tutti e 4 quadrati

Re: Quattro di tre.

Inviato: dom set 03, 2017 7:59 pm
da franco
Info ha scritto:ecco come funziona....
$t=\frac{r}2\\v=\frac{s}2\\$
basta riscrivere l'equazione con t e v
$4t^2 + 4v^2 + (2\cdot t \cdot v)^2\\(4t+t\cdot v^2)\cdot t+(4v+v\cdot t^2)\cdot v$
svolgendo si trovano i 4 numeri....
ecco per esempio 6 ed 8
$(12+3\cdot 4^2)\cdot 3+(16+4\cdot 3^2)\cdot 4\\36+48\cdot 3+64+36\cdot 4\\36+144+64+144$
tutti e 4 quadrati
Qualcosa non torna:
36+144+64+144=388 e non 676

Re: Quattro di tre.

Inviato: lun set 04, 2017 11:04 am
da Info
ho perso un valore Franco.... quel 2^2 diventa 4 quindi 3+1

$4t^2 + 4v^2 + (2\cdot t \cdot v)^2$

ripetendo gli stessi passaggi non trovo piú i 4 quadrati

Re: Quattro di tre.

Inviato: mar set 05, 2017 8:44 am
da Bruno
In realtà, Info, le due espressioni che hai scritto applicando le tue variabili al trinomio non sono equivalenti, esse infatti differiscono per un $\,$ 2·(t·v)² $\,$ che cambia il gioco e quindi le conclusioni.

Non ti preoccupare, prenditi il tempo che ti serve per riesaminare il tuo approccio :wink:

Naturalmente non si tratta di una questione ovvia, ma non è impossibile spiegarla con relativa semplicità. Cambiare il punto di vista può permettere di trovare una via più percorribile.

Re: Quattro di tre.

Inviato: mar set 05, 2017 10:57 am
da Info
eh si..... siccome r ed s sono entrambi pari posso scrivere l'equazione con t e v che altrimenti non sarebbero interi

Re: Quattro di tre.

Inviato: lun set 11, 2017 6:39 pm
da vittorio
Dato $n=r^2+s^2+(r\cdot s/2)^2$, poiché r ed s devono essere pari pongo $r=2p$ ed $s=2q$ ottenendo $n=4\cdot p^2+4\cdot q^2 + 4\cdot p^2\cdot q^2$.
Quindi scrivo: $n=(1^2+1^2+1^2+1^2)\cdot (p^2+q^2+(p\cdot q)^2+0^2)$, cioè scrivo n come prodotto di due somme di quattro quadrati ciascuna.
Utilizzando l'uguaglianza di Eulero:
$( a^2+b^2+c^2+d^2 )\cdot( e^2+f^2+g^2+h^2 )=(a\cdot e-b\cdot f-c\cdot g-d\cdot h)^2+( a\cdot f+b\cdot e+c\cdot h-d\cdot g )^2+( a\cdot g-b\cdot h+c\cdot e+d\cdot f )^2+( a\cdot h+b\cdot g-c\cdot f+d\cdot e )^2$
e sostituendo ottengo:
$n=( p\cdot q-p-q )^2+( p\cdot q+p-q )^2+( p\cdot q+p+q )^2+( p\cdot q-p+q )^2$
che esprime n come somma di quattro quadrati.
Ciao
Vittorio

P.S. Spero di non aver sbagliato nello scrivere la formula di Eulero che comunque si trova su Wikipedia.
Per la cronaca 676 si può scrivere come somma di quattro quadrati in 21 modi diversi.

Re: Quattro di tre.

Inviato: mar set 12, 2017 9:35 am
da Bruno
Fantastico Vittorio :D

Dunque, la somma di tre quadrati pari, comunque scelti, può sempre essere scritta come somma di quattro quadrati.
Infatti, ponendo $\,r\,$ al posto di $\,p q\,$ nell'ultima tua espressione, si ottiene la somma dei quadrati di tre generici numeri pari.


Cosa ne dici della sequenza del 26 agosto?


PS - Non hai sbagliato a scrivere l' identità dei quattro quadrati di Eulero :wink: